Los diez mandamientos:
método y desarrollo
de capacidades en las
matemáticas
Los diez mandamientos:
método y desarrollo
de capacidades en las
matemáticas
Andres Avelino Camara Acero
Pío Trujillo Atapoma
Edwin Roger Esteban Rivera
Instituto Latinoamericano de Altos Estudios -ilae-
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esta obra sin permiso expreso del Instituto Latinoamericano de Altos Estudios -ILAE-.
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ISBN
978-958-5535-60-2
© Andres Avelino Camara Acero, 2020
© Pío Trujillo Atapoma, 2020
© Edwin Roger Esteban Rivera, 2020
© Instituto Latinoamericano de Altos Estudios -ILAE-, 2020
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Editado en Colombia
Published in Colombia
Contenido
Presentación
13
Introducción
15
Capítulo primero
El método y la interacción pedagógica
17
I.
Método científico
17
II.
Método científico y Método pedagógico
20
III. Interacción entre el docente
23
y el participante: el método interactivo
23
Capítulo segundo
Enfoques epistemológicos y de aprendizaje
27
I.
Enfoque epistemológico según Piaget
28
II.
Vygotsky y la Psicología Social
30
III. Ausubel y el Aprendizaje Significativo
33
IV. Bruner y el Aprendizaje por descubrimiento
35
Capítulo tercero
39
El desarrollo y el pensamiento lógico matemático
39
V. Pensamiento Lógico
40
VI. Comunicación Matemática
42
VII. Resolución de Problemas
43
VIII. Recuperación de saberes previos
44
IX. Elaboración del nuevo saber
45
X. Enseñanza
48
A. Estrategias de enseñanza
49
B. Capacidad de observar
50
7
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
C. Capacidad de describir y explicar
52
Capítulo cuarto
Los diez mandamientos: métodos y capacidades en el
aprendizaje de las matemáticas, análisis y resultados
53
I.
Objetivo general
54
II.
Objetivos específicos
55
III. Hipótesis general
55
IV. Hipótesis específicas
55
V. Tipo y nivel de investigación
56
VI. Sistema de variables
56
VII. Población
58
VIII. Muestra58
IX. Análisis e interpretación de los resultados
61
X. Prueba de normalidad
70
XI. Prueba de Hipótesis
71
A. Hipótesis general
71
B. Hipótesis Especifica 1
73
C. Hipótesis Específica 2
74
D. Hipótesis Especifica 3
75
E. Discusión de resultados
77
F. Contrastación de la Hipótesis
General con base en la Prueba de Hipótesis
78
G. Aporte científico de la investigación
78
Capítulo quinto
El método de los diez mandamientos y los
procesos educativos, visiones y revisiones
83
Bibliografía
89
Los autores
99
8
Índice de tablas
Tabla 1
Operacionalización de variables
57
Tabla 2
Participantes de la Facultad de Ciencias
de la Educación de la unheval
58
Tabla 3
Muestra poblacional estratificada de la Facultad
de Ciencias de la Educación de la unheval
60
Tabla 4
Estudiantes pertenecientes a los grupos control
y experimental según notas de la pre-prueba
61
Tabla 5
Estudiantes pertenecientes a los grupos control
y experimental según notas de la post-prueba
65
Tabla 6
Análisis descriptivo de los Estadígrafos en los
grupos experimental y control Según notas de
la pre-prueba y post-prueba
69
Tabla 7
Prueba de normalidad
71
Tabla 8
Prueba de Mann-Whitney
72
Tabla 9
Estadísticos de prueba
72
Tabla 10
Prueba de Mann-Whitney
73
Tabla 11
Estadísticos de prueba
74
9
Tabla 12
Prueba de Mann-Whitney
75
Tabla 13
Estadísticos de prueba
75
Tabla 14
Prueba de Mann-Whitney
76
Tabla 15
Estadísticos de prueba
76
Tabla 16
Los Diez Mandamientos
80
Índice de figuras
Figura 1
Resultados de la pre-prueba sobre razonamiento
y demostración
62
Figura 2
Resultados de la pre-prueba sobre comunicación
matemática
63
Figura 3
Resultados de la pre-prueba sobre resolución
de problemas
64
Figura 4
Resultados de la post-prueba sobre razonamiento
y demostración
66
Figura 5
Resultados de la post-prueba sobre comunicación
matemática
67
Figura 6
Resultados de la post-prueba sobre resolución
de problemas
68
11
Presentación
Este trabajo de investigación tuvo como objetivo Evaluar los efectos
de la aplicación del método los diez mandamientos en la mejora de
los niveles de desarrollo de capacidades en el área de matemática en
estudiantes del primer ciclo de la Facultad de Ciencias de la Educación
de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán de Huánuco, Perú. El tipo
de investigación fue experimental y aplicada, al aplicar un diseño cua-
si experimental. La población estuvo conformada por 144 estudiantes
del primer ciclo de la Facultad de Ciencias de la Educación, matricu-
lados en la asignatura de matemática; mediante el muestreo probabi-
lístico se eligió un grupo de trabajo conformado por 105 estudiantes.
Al grupo experimental (55) y grupo control (50) se les aplicó una pre-
prueba y post-prueba de 15 preguntas, ambas expresadas en el siste-
ma vigesimal. Para estimar los estadígrafos se hizo uso de la estadística
descriptiva y para la contrastación de la hipótesis se aplicó la prueba
de distribución de medias. De los resultados se infiere que el promedio
final del grupo experimental fue 14, al evidenciar que el logro de los
aprendizajes fue satisfactorio y el promedio final del grupo control fue
12, lo que evidencia ligeras dificultades para el desarrollo del aprendi-
zaje previsto por lo que necesita mayor tiempo de acompañamiento e
intervención del docente de acuerdo con su ritmo y estilo de aprendi-
zaje. Se concluye que el nivel de desarrollo de capacidades de los estu-
diantes del grupo experimental con respecto al área de matemática al
finalizar el estudio mejora de manera significativa con la aplicación del
método los diez mandamientos, en comparación con los estudiantes
del grupo control que no recibieron la aplicación del mismo.
13
Introducción
Educar implica mostrar y hacer comprensible e interpretable los diver-
sos modos de conocer, implica interactuar y desarrollar habilidades,
las cuales pueden estar enfocadas desde diversos planos horizontales
y verticales en la vida de los sujetos. Educar no es sólo transmitir pues
también busca generar procesos de intercambio entre los docentes, su-
jetos equiparados de un vasto conocimiento, y los participantes quie-
nes aprenden y desaprenden actitudes, habilidades y conocimientos
formales. Si bien la escuela como institución hace énfasis en la transmi-
sión, en la actualidad se considera la transferencia de conocimientos,
orientada desde el aprendizaje a formar, al generar una transforma-
ción en el sujeto y en el contexto. Aun cuando este panorama pare-
ce indicar un cuadro complejo, el eje de todo proceso educativo debe
estar encaminado hacia estos principios y aunado a la adquisición de
novedosas propuestas de interacción, entre los docentes y los estu-
diantes se encuentra los Diez Mandamientos, cuya denominación está
asociada en especial a leyes, si se recuerda el adagio bíblico donde se
pone de manifiesto aquella ley cuya orientación estaría fundamentada
en el cumplimiento irredento de sus enunciados. El método de los Diez
Mandamientos persigue, entre otros aspectos, el desafío de una edu-
cación instituida como tal, al dejar a un lado desde una mirada mucho
más amplia el desarrollo de las capacidades que traen consigo los es-
tudiantes al momento de ingresar a un aula; además de la fundamenta-
ción teórica y la indagación de las nociones de aprendizaje que se han
construido a lo largo de los años.
Este libro de investigación persigue, entre sus aportes, el pensa-
miento lógico y los niveles críticos medidos mediante el desarrollo de
un método enraizado en los conocimientos que se han adquirido, apar-
te de los que se pretenden desarrollar en la medida en que los proce-
15
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
sos educativos avancen. De esta manera, la naturaleza de este estudio
se configura en cinco capítulos orientados, en su esencia, a esclarecer
los niveles de conocimientos tanto teóricos como prácticos. El primer
capítulo revisa las nociones de método, el método científico y el peda-
gógico, la interacción entre el docente y el participante.
El segundo capítulo indaga de forma profusa sobre los enfoques
epistemológicos y de aprendizaje, siguiendo las rutas de notables y
considerados pensadores que, durante años, han puesto sus aportes
al servicio de la humanidad. Entre los mencionados desfilan: Piaget,
Vygotsky, Ausubel y Bruner.
Un tercer capítulo orientado hacia el desarrollo y el pensamiento
lógico matemático. En este apartado se hace una exploración desde el
pensamiento lógico, su incidencia en el campo educativo y su relación
con la enseñanza de las matemáticas, así como la comunicación, la re-
cuperación de los saberes previos, la enseñanza, estrategias de ense-
ñanza y las diversas capacidades que posee el ser humano para adqui-
rir los nuevos aprendizajes.
El cuarto capítulo visibiliza los resultados y el análisis de los mis-
mos. En este capítulo se muestra la población, tipo de investigación, así
como los objetivos tanto generales como específicos. Del mismo modo,
se presenta un último capítulo donde se expresa una reflexión en torno
a la situación actual del sistema educativo, además de la importancia
de la aplicación de los diversos métodos entre otros aspectos. Por últi-
mo, este libro cierra con un conjunto de referentes bibliográficos pro-
ducto de los más significativos aportes teóricos sobre la materia.
16
Capítulo primero
El método y la interacción pedagógica
El abordaje de las ciencias dentro de un contexto determinado debe
contemplar los condicionantes necesarios para su oportuno estudio o
sistematización, puesto que de ello va a depender un conjunto de ac-
ciones que permitirán la comprensión, así como la resolución de pro-
blemas que pudieran hacerse presentes en la vida de los sujetos. Sin
embargo, el estudio de las ciencias no pudiera darse si su búsqueda
no estuviera orientada ante todo al desarrollo de los individuos y a sus
complejas realizaciones en la vida cotidiana, y sin que antes exista la
aplicación de métodos, entendidos como el conjunto de procedimien-
tos, técnicas e instrumentos que deben administrarse para el logro de
los objetivos y metas propuestas.
I. Método científico
La palabra método de acuerdo a su origen etimológico quiere decir tra-
zado para llegar a un fin específico; también pudiera entenderse como
el planteamiento de la acción directa sobre algo que se desea transfor-
mar; de igual modo constituye el principal aspecto a considerar cuando
se pretende llevar a cabo una investigación sea cual fuere la intención,
el mismo responde a los procedimientos para la ejecución de un plan
definido por el investigador. Al respecto, Guevara, citado por César
Felipe Gutiérrez Alva, señala que:
El método científico es la cadena ordenada de acciones hechas por los científicos
y que hacen posible el avance en el proceso del conocer (investigación
científica), que va desde lo conocido a lo desconocido, del conocimiento
incompleto y superficial al conocimiento cada vez más “completo” profundo,
del conocimiento unilateral al multilateral y complejo. El método científico se
17
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
halla indisolublemente unido al cuerpo teórico de la ciencia, la misma que está
constituida por un sistema de principios, leyes, teorías, hipótesis y modelos,
los cuales sirven de fundamento teórico al método1.
De acuerdo a este principio, se plantea que el método viene a estable-
cer una serie de mecanismos que direccionarán tanto los objetivos
como los planes determinados para darle solución a la producción de
conocimientos, sistematización y aplicación de estrategias que brin-
den respuesta a los problemas o fenómenos, además de resolver de
forma didáctica dudas dentro del campo de las ciencias. Aun cuando
el método permite la aplicación de un cuerpo metodológico específi-
co, este se reviste de ciertos componentes que se manifestarán en la
medida que el proyecto así lo requiera. En este sentido, María de los
Ángeles Cienfuegos Velasco propone que:
Tradicionalmente se ha determinado que el propósito principal de la ciencia
(de la investigación científica y del método científico) es partir de las hipótesis
y los objetivos (en este orden) para posteriormente establecer leyes y teorías
(ciencia básica o pura). Sin embargo, en la práctica científica también se busca
realizar investigación con leyes y teorías ya establecidas para intentar explicar
hechos o fenómenos naturales y sociales (ciencia aplicada)2.
No es de extrañar, entonces, que el método establezca sus propios prin-
cipios, en tanto que estos mismos van a orientar el diseño y la puesta
en marcha de ideas, conceptos y principios metodológicos que son fun-
damentales en el desarrollo de cualquier estudio. De esta manera, el
método buscará generar sus propias políticas, lo que da viabilidad a la
idea. Así mismo, el método dentro de las ciencias aplicadas al estudio
de las matemáticas obedece, de acuerdo a su naturaleza, a factores que
están condicionados por los intereses y por las necesidades tangibles
1
César Felipe Gutiérrez Alva. “Programa didáctico centrado en el método científi-
co y su influencia en el desarrollo de las habilidades lógicas”, Revista Ciencia y Tecno-
logía, vol. 15, n.º 1, Trujillo, 2019, pp. 75 a 86, disponible en [http://dspace.unitru.
edu.pe/bitstream/handle/UNITRU/12833/Gutierrez%20Alva%20Cesar%20Felipe.
pdf?sequence=1&isAllowed=y ], p. 76.
2
María de los Ángeles Cienfuegos Velasco. “Reflexiones en torno al método científico y
sus etapas”, Revista Iberoamericana de las Ciencias Sociales y Humanísticas, vol. 8, n.º 15,
2019, pp. 1 a 18, disponible en [https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/6920475.
pdf ], p. 5.
18
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
de los individuos, lo que traduce que el método y sus variantes estarán
en una permanente búsqueda, así como en una constante producción
de conocimientos sobre ciertos o ubicables fenómenos; en este senti-
do, el método y en específico el científico volcará su acción a través de
los mecanismos comunes de la investigación.
Diversos y distintos planteamientos teóricos han girado en torno a
un mismo objetivo: encauzar a los jóvenes para que inicien el proceso
de aprendizaje a través de la aplicación de estrategias metodológicas.
Conducir los métodos de enseñanza, así como las corrientes de pensa-
mientos, son los objetivos centrales de la investigación. De acuerdo a
ello, Claudia Rocío Carrillo señala que:
En el mundo actual y globalizado, la ciencia y la tecnología avanzan de
manera vertiginosa, por lo que es necesario que desde la escuela preparen
a los estudiantes a desenvolverse en contextos cada vez más complejos que
requieren respuestas rápidas de solución a los problemas que se presentan en
el entorno más cercano en la cotidianidad3.
Las soluciones requieren, en este sentido, de un método que permita
dar una eficaz respuesta a un sinnúmero de aspectos relacionados con
las ciencias, los avances en matemáticas y otras disciplinas del saber
debido a que en el campo metodológico se emplean varios términos de
uso frecuente y susceptible de confusión por lo que es necesario ela-
borar una breve distinción entre ellos, al considerar que van desde los
métodos inductivos hasta los deductivos. Sin embargo, se debe señalar
que el método ha atravesado por diversos planteamientos, definicio-
nes y otras variantes tales como:
- El método es catalogado como técnica definida, es decir, como
aquel medio para transitar por el camino o que indica procedi-
mientos para caminar en forma metodológica.
3
Claudia Rocío Carrillo. “Enseñar para el desarrollo del pensamiento científico desde la
escuela”, en idep, Desarrollo del Pensamiento científico en la escuela, Bogotá, Jotamar Ltda,
2012, pp. 13 a 33, disponible en [https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&
source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjJu7qH1sbsAhUMjlkKHbIkBysQFjAB
egQIAhAC&url=http%3A%2F%2Fbiblioteca.clacso.edu.ar%2FColombia%2Fidep%2F20
151026052301%2FDesarrolloPensamientoCientifico.pdf&usg=AOvVaw2C ], p. 14.
19
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
- El método está orientado a la observación y, de acuerdo a su
perfil, se ejecuta a través de formas y modos.
- El método, de acuerdo al campo de acción real, es más específico.
- El método precisa las conducciones de la teorías, técnicas y ma-
teriales empleados por el docente a través de la forma como
mecanismo de acción directa.
- Al método se le han atribuido las competencias de los materia-
les empleados en el proceso de enseñanza; entendiendo por
materiales a los elementos físicos, gráficos y escritos de los
que se vale el docente para optimizar el proceso enseñanza-
aprendizaje.
II. Método científico y Método pedagógico
Los rasgos que definen a ambos métodos permiten el camino para dar-
le solución a problemas específicos, además de proponer novedosas
estrategias para el abordaje de ciertos eventos netamente educativos.
El método científico se centra en el hallazgo de la verdad científica,
mientras que el método pedagógico se interesa por orientar y regu-
lar la marcha del aprendizaje, esto quiere decir que los estudiantes
conozcan las verdades descubiertas y adquieran actitudes, hábitos,
habilidades e ideales de valor. De igual modo, el método científico va
orientado en especial al proceso de enseñanza-aprendizaje en adul-
tos, mientras que el método pedagógico no establece discriminación
alguna, por lo que es apropiado para guiar inteligencias inmaduras o
en proceso de formación.
En el contexto de aprendizaje, la aplicación de diversos métodos
de enseñanza debe considerar determinadas estrategias que permi-
tan direccionar los objetivos establecidos al inicio. Tanto en el método
científico como en el pedagógico, el uso de las estrategias determinará
las acciones directas; en este sentido, las mismas no sólo visualizarán
los posibles inconvenientes que se tengan en el trayecto metodológico,
sino que preverán los venideros desencuentros en torno a la metodo-
logía. Al respecto, Contreras y Sierra, citados por Sabina Marlene
Gordillo Mera et al. señalan que:
20
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
La Estrategia ha sido transferida, por supuesto creativamente al ámbito de la
educación en el marco de las propuestas de enseñar a pensar y de aprender a
aprender. Una estrategia diseñada por un docente para que el alumno aprenda
a aprender y a desempeñarse integralmente como persona, es complejo,
más organizado y bien apoyado en la teoría, pero que debe ser operativo y
congruente con los nuevos paradigmas de este siglo4.
Siendo el método científico una forma de abordar un problema, este
analiza de manera ordenada los cimientos como es debido metodoló-
gicos y los procesos conducentes a resolver determinadas situaciones
por lo que organiza, de forma lógica, las posibles eventualidades que
pudieran presentarse y cómo podrían conducirse para brindar alguna
solución. Por consiguiente, el método científico desarrolla las capaci-
dades lógicas y de sentido de un determinado proceso, no así el método
pedagógico cuyo enfoque está más orientado a aspectos psicológicos.
En tanto que el método derivado de las ciencias experimentales busca
incluso desarrollar el pensamiento crítico y reflexivo, el método peda-
gógico resuelve asuntos relacionados con el procedimiento netamente
educativo, no siendo de exclusividad que este no aplique estrategias
en el campo de las ciencias, puesto que su principal objetivo es condu-
cir en forma metodológica los procesos en el ámbito académico, con
lo cual jugará un papel importante, al igual que las actitudes y aptitu-
des de los docentes en su ejercicio y desempeño como conductores de
los procesos formativos. Al respecto, Andrés Avelino Cámara Acero,
Joel Tarazona Bardales et al., refieren que:
Los métodos convencionales centrados en la actuación del educador, situación
que consiste en un problema real para la educación y formación de nuevos
hombres, se da como proceso de múltiples variables tanto curriculares como
extracurriculares, es así que los problemas de la educación derivan de las
limitaciones de los planes metodológicos de los temas educativos y de la
incompatibilidad de estos contenidos5.
4
Sabina Marlene Gordillo Mera, Alexandra del Carmen Guerrero, Fredy Bolívar
Sarango Camacho y Jessica Ordoñez Gordillo. “La cultura estética pedagógica y las
estrategias didácticas en desempeño docente”, en Olimpia, vol. 16, n.º 54, 2019, pp. 73 a
86, disponible en [https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/6759646.pdf ], p. 77.
5
Andrés Avelino Cámara Acero, Joel Tarazona Bardales, Pio Trujillo Atapoma, Dio-
nicio Fernández Santacruz y Fermín Pozo Ortega. “Propuesta de currículo basado en
competencias para la carrera profesional de matemática y física”, en Investigación Valdi-
21
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
Tanto en la enseñanza de las ciencias como en cualquier disciplina,
la acción docente y el método que se emplee son fundamentales para el
logro de los objetivos planteados, sin un método definido, las activida-
des se verán afectadas, así como los diversos mecanismos que deriven
de la acción educativa. De allí se determina que los objetivos lograron
sus alcances. La aplicación de métodos en el ámbito escolar no solo
garantizará que los contenidos y planes se manifiesten, solo basta que
el método no sea del todo conveniente para el contexto, para que los
contenidos dados no lleguen a cumplir sus cometidos. En las áreas de
manera estrecha vinculadas con las ciencias matemáticas, la enseñan-
za estará de forma transversal transitada por los métodos y sus opor-
tunas aplicaciones. Para ello, Arnaldo Faustino et al. señalan:
La formación matemática sistematizada tiene un gran significado, desde cual-
quier contexto donde se desarrolle la formación del profesional; cuando esta,
se proyecta a partir de la abstracción matemática científica. En la cual se ten-
gan en cuenta las informaciones seleccionadas de la situación social, median-
te una proyección metodológica, permitiendo reconocer la realidad y desde
ella, se facilite la aplicación de los conocimientos que se sistematizan en el
componente académico. Luego profundice estos a través de la corroboración
mediante la ciencia y técnica. A su vez su aplicación en la práctica laboral in-
vestigativa, siendo el espacio propicio para que los estudiantes se ubiquen en
una posición de desempeño activo como actores sociales donde se ponen en
práctica los conocimientos teóricos en espacios laborales reales. Realizándose
diagnósticos y proyecciones de alternativas de solución a diversas problemá-
ticas; sustentado en los métodos y procedimientos investigativos6.
Desde esta perspectiva, es importante indicar el papel que desempe-
ñan en el aula los actores involucrados de manera directa e indirecta
en el proceso de transferencia de conocimiento, puesto que no solo va
a depender de estos que se apliquen en el desarrollo de las activida-
zana, vol. 9, n.º 2, julio-diciembre de 2015, pp. 4 a 10, disponible en [https://www.goo-
gle.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwiSssejlcbsAhUIw
VkKHWt1AjIQFjAAegQIARAC&url=http%3A%2F%2Frevistas.unheval.edu.pe%2Findex.
php%2Friv%2Fissue%2Fdownload%2F18%2F18&usg=AOvVaw2ZdEjfyXaQfhc0aYE2T
BPP ], p. 5.
6
Arnaldo Faustino, Néreyda Pérez Sánchez y Raquel Diéguez Batista. “Formación
matemática sistematizada a partir del enfoque ciencia, tecnología y sociedad, en el perfil
ingenieril”, Revista Educación, vol. 43, n.º 1, 2019, pp. 1 a 24, disponible en [https://revis-
tas.ucr.ac.cr/index.php/educacion/article/view/28233/36385 ], p. 9.
22
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
des planificadas en un contexto determinado, antes bien, la acción va a
depender de los procedimientos que asuman de manera responsable
tanto los participantes como el docente.
III. Interacción entre el docente
y el participante: el método interactivo
La enseñanza y el aprendizaje van de la mano en el proceso de cons-
trucción significativa, tanto de métodos como de técnicas. Aun cuando
existen distintos e innovadores procedimientos; la enseñanza de las
ciencias en un contexto determinado sigue siendo ineficaz debido, en
parte, a los métodos que suelen ponerse en práctica, además porque se
ha creído de forma ciega que su enseñanza radica en la memorización
y aplicación irredenta de sus contenidos, aunado a la baja y escasa for-
mación pedagógica de los docentes en áreas específicas de las ciencias
matemáticas debido a que describen un panorama que hace cuesta
arriba la interacción entre los actores involucrados, a los fines de que
logren poner sus objetivos en acción, al desarrollar la capacidad crítica
y la formación de conceptos tal y como lo han señalado diversos pen-
sadores a través del tiempo, quienes afirman que la enseñanza de las
matemáticas sigue estableciéndose a partir de una mera trasmisión de
fórmulas o conceptos derivados de una irrealidad manifiesta. En este
aspecto, Angélica María Rodríguez Ortiz y Claudia Patricia Marín
Ortiz señalan:
El diseño de mediaciones interactivas para intervenir el aula y mejorar los
procesos de enseñanza y aprendizaje resulta indispensable en medio de las
exigencias del mundo actual, en el que se debe responder a los múltiples
cambios tecnológicos y culturales que trae consigo la llamada era tecnológica.
Esto conlleva a pensar el papel del diseño en los diversos entornos educativos7.
Las concepciones adquiridas a través del tiempo sobre la enseñanza,
en particular la enseñanza de las matemáticas, no han sido un aconte-
7
Angélica María Rodríguez Ortiz y Claudia Patricia Marín Ortiz. “Implementación
de un modelo de juego interactivo para aprender matemáticas”, Praxis & Saber, vol. 10,
n.º 22, 2019, pp. 115 a 142, disponible en [https://revistas.uptc.edu.co/index.php/pra-
xis_saber/article/view/7693/7731 ], p. 118.
23
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
cimiento óptimo puesto que ésta ha radicado en esencia en repetir los
desvencijados métodos que en otrora fueron los que recibieron como
proceso de formación; y estos a su vez siguen repitiéndose, al conde-
nar no solo las posibles innovaciones y aportes, sino que anquilosan
las contribuciones espontáneas de aquellos que participan en el pro-
ceso de enseñanza y aprendizaje.
Dentro del campo de la investigación, el empleo de estrategias en un
contexto académico es determinante para que el participante adquiera
estrategias, así como el dominio de técnicas y procedimientos que per-
mitirá un conocimiento mucho más esclarecedor para transformar la
realidad o el contexto donde esté. El estudio de las ciencias, en particu-
lar de las ciencias matemáticas, requiere el desarrollo de habilidades
en el estudiante. Para Jessica Carolina Quizhpilema Romero y Lucía
Clementina Tenezaca Juela:
El docente debe combinar entre la enseñanza de contenidos teóricos
que los estudiantes deben aprender y la experimentación de dichos
contenidos mediante actividades enfocadas tanto a la adquisición de nuevos
conocimientos como al desarrollo del pensamiento lógico-matemático, dando
paso a que se alcance desarrollar las destrezas establecidas por el currículo
y su vez se potencialice el pensamiento lógico, numérico y abstracto del
estudiante, teniendo en cuenta que para la solución de un problema o ejercicio
el estudiante debe primero comprender, analizar, reflexionar el planteamiento
posteriormente deducir la parte algorítmica que se puede utilizar para su
solución y finalmente inferir, criticar el procedimiento o secuencia dada para
dicha solución8.
Tanto el desempeño del docente como del educando es determinante y
fundamental para el ejercicio y los intereses que cada quien posee; aun
cuando los intereses de los estudiantes no se hayan enfocados del todo,
el proceso de aprendizaje es el mismo en tanto se centra en la búsque-
da incesante del saber. Un rasgo característico de esto es la manifesta-
8
Jessica Carolina Quizhpilema Romero y Lucía Clementina Tenezaca Juela. “Una al-
ternativa didáctica para el desarrollo del pensamiento lógico matemático en los estudian-
tes de la Educación General Básica en el subnivel superior de la Unidad Educativa Ricardo
Muñoz Chávez de la ciudad de Cuenca”, tesis de pregrado, Azogues, Ecuador, Universi-
dad Nacional de Educación, 2019, disponible en [http://repositorio.unae.edu.ec/bits-
tream/56000/1099/1/Trabajo%20de%20Titulaci%c3%b3n%20%282019%29%20
Jessica%20y%20Luc%c3%ada.pdf ], p. 7.
24
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
ción práctica, innovadora y diversa de la enseñanza matemática, pero
para ello se debe contar con modelos específicos que permitan la gene-
ración de nuevos conceptos e ideas. De acuerdo con Diana Consuelo
Cañas Palacios y Milton José Reyes Mite:
De este modo, la enseñanza de la matemática como disciplina científica
requiere de una praxis docente motivadora, medidora, la cual haga énfasis en
las deficiencias conceptuales sobre los fundamentos teóricos, su aprendizaje
por parte del educando y promover de manera creativa estrategias cognitivas y
transdisciplinarias para atacar las fallas en la resolución de cálculos complejos,
los cuales afectan considerablemente los parámetros académicos9.
Un aspecto notable en la configuración de las estrategias de enseñan-
za es que la motivación, aunada a la indagación sobre lo aprendido y
lo que está por aprenderse, debe estar en un nivel donde los sujetos
interactúen con lo aprendido, de allí que el contexto donde se adquie-
ran los conocimientos también sea determinante a la hora de precisar
ciertos aprendizajes. La aplicación de métodos, en este caso de los Diez
Mandamientos, debe estar a la par de las exigencias académicas, así
como de las realidades también sugeridas por todos aquellos que in-
tervienen en el proceso de enseñanza y de aprendizaje.
9
Diana Consuelo Cañas Palacios y Milton José Reyes Mite. “Recursos tecnológicos para
el desarrollo del conocimiento matemático en los estudiantes de 10.º año de educación
básica, colegio Vicente Rocafuerte. Aplicación interactiva multimedia”, tesis de pregrado,
Guayaquil, Universidad de Guayaquil, septiembre de 2019, disponible en [http://reposi-
torio.ug.edu.ec/bitstream/redug/43362/1/BFILO-PIN-19P14.pdf ], p. 24.
25
Capítulo segundo
Enfoques epistemológicos y de aprendizaje
De vital relevancia para los individuos resulta el aprendizaje, puesto que
este no solo direcciona los mecanismos y las capacidades que el ser hu-
mano desarrolla cuando se encuentra en un contexto determinado, sino
también el recorrido que emprenda va a determinar sus rasgos de per-
sonalidad, así como la agudización del pensamiento crítico, entre otros
aspectos no menos importantes y significativos desde los diversos pla-
nos en que el sujeto logra afianzar sus conocimientos en pro de su for-
mación y posterior evolución. Si bien los enfoques deben considerarse,
también deben tomarse en cuenta los aportes en torno al aprendizaje de
distintos pensadores que en su época abordaron los complejos dinamis-
mos socioeducativos para darle cuerpo a los procesos de aprendizaje y
a la manera en que el conocimiento se logra consolidar en los individuos
debido a que el aprendizaje, tal y como lo han señalado Marisela Árraga
de Montiel y Aura Añez de Bravo, “es un proceso inherente al individuo,
ya que se encuentra presente en toda actividad que éste realiza. En el
contexto educativo, este proceso es muy significativo debido a que es el
punto alrededor del cual gira la acción pedagógica”10, la cual debe sus-
tentarse bajo los enfoques epistemológicos de rigor, a saber, estos deben
estar orientados en función del sujeto, de sus formas múltiples de apren-
dizaje y modos diversos de pensamiento.
10
Marisela Árraga de Montiel y Aura Añez de Bravo. “Aprendizajes, enfoques epistemo-
lógicos y estilos de pensamientos”, en Encuentro Educacional, vol. 10, n.º 1, 2003, pp.
23 a 37, disponible en [https://www.researchgate.net/profile/Marisela_Arraga/publi-
cation/294259959_Aprendizaje_enfoques_epistemologicos_y_estilos_de_pensamiento/
links/56bf5e7a08ae2f498ef7efcf/Aprendizaje-enfoques-epistemologicos-y-estilos-de-
pensamiento.pdf ], p. 24.
27
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
I. Enfoque epistemológico según Piaget
El enfoque epistémico y metodológico para la adquisición del conoci-
miento atraviesa sendas formas que dinamizan el proceso mismo de
aprendizaje. Jean Piaget11 plantea que los individuos están en una per-
manente interacción y, por ende, en un intercambio constante debido a
que los sujetos no son solo entes biológicos, sino que estos derivan sus
acciones en tanto interacciones con el medio o el contexto de acción in-
mediata. Estos procesos van desde las concepciones iniciales del indi-
viduo, adquisición de los mecanismos cognitivos, hasta la apropiación
del objeto, que vendría a ser el primer problema en la teoría, es decir,
de qué manera la adquisición del aprendizaje se comienza a gestar en
el individuo y cómo estos influyen en las acciones o en el desenvolvi-
miento de los aprendizajes que este sujeto logra consolidar a través de
la cognición. En este sentido, Piaget, citado por Juan Antonio García
Madruga, señala que:
El primer problema para comprender cómo la inteligencia naciente construye
el mundo exterior, es saber si durante los primeros meses el niño concibe y
percibe las cosas, como lo hacemos nosotros mismos, bajo la forma de objetos
sustanciales, permanentes y de dimensiones constantes. Suponiendo que no
ocurra nada de esto, sería necesario entonces explicar cómo se constituye la
noción de objeto12.
El individuo recibe las competencias por vía genética, las cuales care-
cen de independencia, por el contrario poseen influencias dependien-
tes, lo que determina capacidades específicas en lo genético que no
son independientes, sino que tienen influencia recíproca con el medio,
además de tener en cuenta las cuatro etapas que establece el pensador
acudiendo, claro está, a las etapas del desarrollo, las cuales están orien-
tadas en especial al desplazamiento, la conexión, combinar, separar y
juntar de nuevo, por lo que Piaget13 establece la capacidad de actuar
11
Jean Piaget. Psicología y pedagogía, Barcelona, Editorial Ariel, 2001, disponible en
[https://www.uv.mx/rmipe/files/2017/02/Psicologia-y-Pedagogia.PDF ].
12
Juan Antonio García Madruga. “Cognición y desarrollo”, Revista de Psicología, vol. 14,
n.º 27, julio-septiembre de 2018, pp. 7 a 24, disponible en [https://erevistas.uca.edu.ar/
index.php/RPSI/article/view/1354/1282 ], p. 13.
13
Ibíd.
28
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
sobre los objetos. De acuerdo a esto, el sujeto debe manifestar desde
las más incipientes operaciones como hablar hasta las más complejas
como aquellas que consisten en unir cosas o poner en orden. En este
sentido, las acciones están de manera estrecha ligadas a estas opera-
ciones que parten desde las más simples hasta las más complejas que
logra configurar el sujeto. De igual manera, estas operaciones pasan
por transformar desde los horizontes cognitivos o mentales hasta los
ideo afectivos y emocionales.
La teoría de Piaget14, asociada al estudio tanto de las ciencias como
de otras esferas del conocimiento, se enfocó en principio en que los
principios están sujetos desde las diversas concepciones a establecer
que los individuos experimentan procesos de asimilación y acomoda-
ción. En este sentido, los sujetos para lograr el aprendizaje deben ha-
ber pasado por la fase de asimilación y, después, por la fase de acomo-
dación por lo que un determinado organismo se debe en esencia a es-
tos procesos. ¿Cómo se concibe el primer proceso de asimilación en un
individuo? De acuerdo a Jesús Sigüenza Orozco, “Piaget habla de un
primer momento que denomina asimilación cognoscitiva, se considera
que ningún conocimiento es una simple copia de lo real, porque impli-
ca un proceso de asimilación a las estructuras cognitivas existentes”15.
De igual modo, se comprende que en este proceso la aplicación de cier-
tos métodos pasa de manera necesaria por esclarecer que uno de los
primeros aspectos de la propuesta es preciso el reconocimiento de los
conocimientos elaborados de antemano por el individuo, no sin antes
pensar que la asimilación “confiere un significado al conocimiento,
pues todo conocimiento trata acerca de significados que implican una
función simbólica”16.
Otro de los procesos de la teoría de Piaget17 es la acomodación, la
cual consiste en un proceso netamente operativo, además señala la
ruta de las modificaciones que ha presenciado o padecido un indivi-
14
Ibíd.
15
Jesús Sigüenza Orozco. “Piaget y la educación obligatoria en México”, Revista Interdisci-
plinaria de Estudios Latinoamericanos - riel, cresur, n.º 2, 2018, pp. 73 a 80, disponible
en [http://cresur.edu.mx/OJS/index.php/RIEL_CRESUR/article/view/149/128 ], p. 75.
16
Ídem.
17
Ibíd.
29
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
duo como consecuencia de los factores externos o influencias del me-
dio donde se encuentre. Tal y como su palabra lo indica, el proceso
de acomodación se fundamenta en la incorporación de nuevos cono-
cimientos por lo que estos pasarán a formar parte de las estructuras
mentales que ya existían. De acuerdo a Piaget, citado por Sigüenza
Orozco, “la acomodación es paralela a la asimilación, y toda asimila-
ción, va acompañada de acomodación”18. En este sentido, el estudiante
comprende las unidades que se le presentan debido a que ya las posee
(conocimientos previos o existentes), sin embargo, nociones en el mis-
mo campo entran para la formulación de nuevas operaciones, por lo
que debe acomodar nuevos conocimientos en los ya existentes o pre-
vios. Así mismo, para que el proceso de adaptación se manifieste, tanto
la asimilación como la acomodación deben estar presentes, por lo que
este proceso será permanente a lo largo de su vida, modificándose en
cada etapa del desarrollo del sujeto.
Además, el autor propone entre sus estudios cuatro niveles: el sen-
sorio motor, el pre operacional, el operacional concreto y el opera-
cional formal, cada uno. De esta manera, el individuo puede alcanzar
la capacidad de ser un sujeto que explora y la capacidad de crear sus
propios esquemas de pensamiento (pensamiento crítico), al facilitar la
producción de conocimientos a partir de los referentes que este posea
e impidiendo la repetición de los mismos esquemas y formas.
II. Vygotsky y la Psicología Social
Una vez analizada las aportaciones en torno al aprendizaje y sus pro-
cesos, por medio de los cuales se manifiestan los ámbitos de asimila-
ción y posterior la acomodación, la teoría de la Psicología Social según
Vygotsky va a centrarse en principio bajo los esquemas del aprendiza-
je y en las potencialidades que los sujetos poseen. De acuerdo a Adrián
Cuevas Jiménez:
Su implicación en la educación significa que la enseñanza, para ser
desarrolladora, debe adelantarse al desarrollo, pero no espontánea o
mecánicamente, sino fundada en esas potencialidades del sujeto, así como en
18
Ibíd., p. 76.
30
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
los “períodos sensitivos” o momentos en que ocurre una mayor sensibilidad al
aprendizaje de cada contenido de instrucción19.
La teoría propuesta por este psicólogo va a ser fundamental en los estu-
dios posteriores propuestos por Piaget20, puesto que va a determinar
a grandes rasgos todo lo concerniente a la teoría social, fundamentada
en las diversas interacciones que tiene el individuo con su entorno o
contexto. De esta manera, Lev Semiónovich Vygotsky21 no solo revi-
sará aquellas zonas inexploradas por sus antecesores, sino que va a
inaugurar una nueva corriente vinculada sobre todo con las corrientes
sociales. De acuerdo a Marcos Antonio Lucci, la teoría de Vygotsky:
Parte de la concepción de que todo organismo es activo, estableciendo una
continua interacción entre las condiciones sociales, que son mutables, y la
base biológica del comportamiento humano. Él observó que en el punto de
partida están las estructuras orgánicas elementales, determinantes por la
maduración. A partir de ellas se forman nuevas, y cada vez más complejas,
funciones mentales, dependiendo de la naturaleza de las experiencias sociales
del niño. En esta perspectiva, el proceso de desarrollo sigue en su origen
dos líneas diferentes: un proceso elemental, de base biológica, y un proceso
superior de origen sociocultural22.
Parte de la concepción de este pensador se abraza a los condicionantes
primarios que se originan en las segundas edades de individuo. Si en
Piaget23 se instauran las nociones en cuanto a procesos de formación
cognitiva, en Vygotsky24 se elevan nuevas formas de interaccionismo
que se fundamenta o se deriva de ámbitos netamente sociales. De esta
manera, se habla desde sus propias concepciones de un campo más
19
Adrián Cuevas Jiménez. “La superación de la concepción y práctica tradicional del rendi-
miento escolar desde la perspectiva del desarrollo en Vygotsky”, Revista AMAzônica, vol.
23, n.º 1, 2019, pp. 384 a 393, disponible en [https://periodicos.ufam.edu.br/index.php/
amazonica/article/view/5656/4362 ], p. 389.
20
Ibíd.
21
Lev Semiónovich Vygotsky. La Génesis de las Funciones Mentales Superiores, Madrid, Edi-
torial Visor, 1981.
22
Marcos Antonio Lucci. “La propuesta de Vygotsky: La psicología socio-histórica”, Pro-
fesorado, vol. 10, n.º 2, 2006, pp. 1 a 11, disponible en [https://www.ugr.es/~recfpro/
rev102COL2.pdf ], p. 7.
23
Ibíd.
24
Ídem.
31
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
social, donde los sujetos intercambian lenguajes sociales a partir de
esquemas ya configurados.
El interaccionismo, por una parte, es una dimensión esencial y, por
el otro, es una dimensión social, las cuales determinan las actividades
de todo proceso educativo medio. Vygotsky25 distingue “la inteligencia
práctica” como la capacidad de construir los referentes, mientras que
“la inteligencia reflexiva” es la capacidad de construir representacio-
nes mentales en conjunto con las generalizaciones. El desarrollo de la
inteligencia, de acuerdo a los postulados de este pensador, desemboca
en un proceso cultural y social que es consecuencia de un aconteci-
miento educativo, lo que equivale a procesos mucho más complejos
y determinantes, en tanto que el aprendizaje es un campo que estará
centrado en la organización de los propios esquemas mentales. Al res-
pecto, Vygotsky infiere:
Desde este punto de vista, aprendizaje no equivale a desarrollo, no obstante,
el aprendizaje organizado se convierte en desarrollo mental y pone en marcha
una serie de procesos evolutivos que no podrían darse nunca al margen del
aprendizaje. Sí pues, el aprendizaje es un aspecto universal y necesario del
proceso de desarrollo culturalmente organizado y específicamente humano
de las funciones psicológicas26.
Las operaciones mentales que son también los aportes secundarios
aprendidos durante las primeras etapas del crecimiento obedecen en
tanto que el individuo logra abstraer su concepción simbólica. De allí
que el primer escarceo con las formas y el aprendizaje que sostienen
los sujetos con el mundo real es preciso desde el mismo desarrollo que
establece con su entorno. Por ello, las operaciones mentales, llámense
signos u fracciones, así como las enumeraciones pasan por ser las pri-
meras manifestaciones que se logran concretar más adelante. Bajo esta
mirada, Marta Ofélia Shuare señala:
25
Ídem.
26
Lev Semiónovich Vygotsky. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores, Barce-
lona, Crítica, 1978, disponible en [http://www.terras.edu.ar/biblioteca/6/TA_Vygotzky_
Unidad_1.pdf ], p. 12.
32
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
La utilización del signo conduce a una nueva y específica estructura de la
conducta humana, a una nueva forma cultural-psicológica de comportamiento.
Esto amplía los límites dados de la memoria, por ejemplo, y, a diferencia de la
memoria natural, la cultural se desarrolla27.
El empleo y uso de las operaciones que se logran llevar a cabo me-
diante los signos, y en este caso de la utilización de situaciones donde
la lógica tiene un papel fundamental en la realización y resolución de
ejercicios, ecuaciones u operaciones simples en las áreas de las cien-
cias, los cuales no surgen de situaciones específicas o por accidente,
emergen solo de complejos procesos tanto de adaptación y como de
desarrollo, al garantizar una evolución desde los niveles más adustos
hasta niveles mucho más elevados de pensamiento. En este sentido,
los primeros hallazgos no estarían solo concebidos desde las primeras
manifestaciones, donde el niño logra apropiarse a partir de un mecáni-
co ejercicio que lo transforma.
III. Ausubel y el Aprendizaje Significativo
La esencia del aprendizaje reside en que los conceptos que se logran
expresar de forma simbólica son relacionados de manera despótica con
lo que el estudiante ya tiene sobre el objeto del cual guarda una estre-
cha vinculación. De acuerdo a José Antonio Nieva Chavez y Orietta
Martínez Chacón, “el aprendizaje significativo de Ausubel encuentra
sus bases epistemológicas en el constructivismo, que desde la filoso-
fía se funda en la teoría del conocimiento”28. De esta manera, la teoría
propuesta por este psicólogo señala que mientras más activo sea el
procedimiento, más significativo y útil serán los conceptos y las ideas
asimiladas. Según Marco Antonio Moreira, la teoría de Ausubel “es
27
Marta Ofélia Shuare. “Las funciones psíquicas superiores: las operaciones con los
sistemas de signos y su papel en el desarrollo de la psiquis infantil”, Psicología Escolar
e Educacional, vol. 21, n.º 1, pp. 117 a 123, disponible en [https://www.redalyc.org/
pdf/2823/282351997013.pdf ], p. 120.
28
José Antonio Nieva Chavez y Orietta Martínez Chacón. “Confluencias y rupturas entre
el aprendizaje significativo de Ausubel y el aprendizaje desarrollador desde la perspecti-
va del enfoque histórico cultural de L. S. Vigotsky”, Revista Cubana de Educación Superior,
vol. 38, n.º 1, 2019, pp. 1 a 13, disponible en [http://scielo.sld.cu/pdf/rces/v38n1/0257-
4314-rces-38-01-e9.pdf ], p. 3.
33
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
la adquisición de nuevos conocimientos con significado, comprensión,
criticidad y posibilidades de usar esos conocimientos en explicaciones,
argumentaciones y solución de situaciones problema, incluso nuevas
situaciones”29, es decir, que cuanto más activo sea el proceso, más sig-
nificativos y de utilidad serán los conceptos asimilados.
En el proceso educativo es relevante destacar lo que los sujetos ya
conocen, lo que se traduce en que los conocimientos una vez procesa-
dos entran en una dinámica de asimilación y, después, de manejo de las
estructuras previas, así como aquellos conocimientos que han sido aco-
modados tal como lo propone Piaget30. Sin embargo, en los aprendizajes
significativos este viraje cobrará otro sentido debido al empleo de nue-
vas significaciones que se darán una vez que el individuo establezca las
relaciones entre ambas dimensiones de aprendizaje. De acuerdo a Ausu-
bel, Novak y Hanesian, citados por Nieva Chavez y Martínez Chacón,
el aprendizaje significativo se trata de un “proceso a través del cual una
nueva información (un nuevo conocimiento) se conecta de forma no ar-
bitraria y sustantiva (no-literal) con la estructura cognitiva de la persona
que aprende”31. De allí que la aprehensión de conceptos y fórmulas en
el campo de las matemáticas cobra un nuevo y acertado significado una
vez que se asocian con los conocimientos previos. Esta conexión con los
aprendizajes significativos tiene mucho que ver con los objetivos de la
investigación, puesto que el método de los Diez Mandamientos estable-
cerá estos mismos preceptos para su debido empleo.
Otro de los componentes fundamentales y recurrentes en la cons-
trucción de nuevos significados y su asociación con los procesos cog-
nitivos previos, es el aprendizaje mecánico. En ocasiones se convierte
en un bien necesario, puesto que debe emplearse en ciertas y eventua-
les circunstancias como, por ejemplo, en la aprehensión de fórmulas
o datos específicos que pudieran servir para ciertas prácticas que, a
diferencia de los aprendizajes significativos, permiten la retención y
29
Marco Antonio Moreira. “Aprendizaje significativo como un referente para la organiza-
ción de la enseñanza”, Archivos de Ciencias de la Educación, vol. 11, n.º 12, 2017, pp. 1 a 16,
disponible en [https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=6893178&orden=0&
info=link ], p. 2.
30
Ibíd.
31
Ibíd., p. 3.
34
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
transferencia de nuevos conceptos. En este sentido, no se manifiesta
una distinción entre ambos horizontes del aprendizaje, antes bien se
parte de la continuidad de ambos, puesto que son necesarios para de-
terminadas situaciones reales de los individuos.
IV. Bruner y el Aprendizaje por descubrimiento
Respecto al Aprendizaje por descubrimiento, Jerome Seymour Bruner32
dedicó sus estudios al desarrollo intelectual y conceptual de los indi-
viduos, su teoría se fundamentó en la teoría de los aprendizajes cada
uno. De esta manera, el Aprendizaje por descubrimiento señala que el
aprendizaje supone un mecanismo, además de un procedimiento acti-
vo de los conocimientos y de cómo cada uno de los sujetos los pone en
práctica. Para Bruner, Goodnaw y Austin, citados por Carlos Sánchez
Sánchez, “los procesos que tienen existencia entre los estímulos del
entorno y las conductas, van a depender de las necesidades, las expe-
riencias, las expectativas y los valores del sujeto”33. En este sentido, los
conocimientos no se darán a partir de una abstracción u otra acción que
los sujetos emprendan en el proceso de aprendizaje, antes bien, la cons-
trucción de nuevos significados será lo que logre determinar y encauzar
el conocimiento. Para ello, Bruner, citado por Sánchez Sánchez, señala:
El alumno no debe hablar de física, historia, matemáticas… sino hacer física,
historia o matemáticas. El conocimiento verdaderamente adquirido es aquel
que se redescubre. Un currículo se basa en pasos sucesivos por un mismo
dominio de conocimiento y tiene el objetivo de promover el aprendizaje de
la estructura subyacente de forma cada vez más poderosa y razonada; este
concepto se ha dado en llamar currículo en espiral34.
Tal planteamiento estará basado en la construcción no solo de signifi-
cados importantes para el individuo, sino de una serie de posibilidades
de hacer de la teoría una post-teoría que logre transformar las esfe-
32
Jerome Seymour Bruner. Toward a Theory of Instruction, Cambridge, Harvard University
Press, 1966.
33
Carlos Sánchez Sánchez. “La narración, según Bruner, en la formación de la identidad
del yo en el niño”, en Eduacación y Futuro Digital, n.º 17, 2018, disponible en [https://
dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=6920172&orden=0&info=link ], p. 8.
34
Ibíd., p. 9.
35
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
ras de un conocimiento primitivo, en este sentido, promover desde el
contexto de los sujetos es desarrollar sus potencialidades y con ellos
potenciar los niveles educativos emergentes. Los aportes de este nota-
ble pensador están desplegados a partir de sus propios aportes. Según
Anton, citado por Ana Náyare Rodríguez García:
Se estima que los motivos que incitan a un niño a aprender son la curiosidad,
el interés por saber y aprender, el desarrollo de las competencias. La adquisi-
ción de la estructura. El último fin del aprendizaje es comprender la materia y
relacionarla con otra información. La organización y secuenciación de los con-
tenidos. La información se presenta de forma organizada y coherente, aten-
diendo al momento evolutivo en que se encuentra el alumno. Reforzamiento
en el que los alumnos consigan adquirir la estructura. Resulta corroborante
en sí mismo35.
De acuerdo a sus teorías, el aprendizaje consiste solo en la organiza-
ción de los contenidos y en los procesos que permiten establecer una
relación asentada en el contexto. Recuérdese que dicho autor fue con-
tinuador de alguna manera de las teorías de Piaget, por la cual el co-
nocimiento humano en el desarrollo es determinante en tanto proceso
de construcción permanente. No obstante, estos principios se postu-
lan en un procesamiento activo de la información que se logra obtener
y por influencia del contexto. Otro rasgo distintivo en la teoría según
Bruner36 es que en la medida que la sociedad avanza, los procesos
acerca de la adquisición de conocimiento se elevan, lo que da lugar a un
mecanismo mucho más complejo y que, por lo tanto, amerita un con-
texto mucho más exigente. Al respecto, Jorge Jairo Posada establece:
La educación en las sociedades avanzadas, complejas, también está condicio-
nada a cambiar rápidamente al ritmo en que se transforma la sociedad. Cuanto
más compleja se vuelva una sociedad, tanto mayor será la importancia de la
educación no sólo para la socialización de los niños, sino también porque les
permite la adquisición de conocimientos y destrezas básicas para enfrentar
con posibilidades de éxito las condiciones de esa sociedad37.
35
Ana Náyare Rodríguez García. “El aprendizaje a través de la Realidad Virtual”, te-
sis de maestría, Murcia, Universidad Católica de Murcia, junio de 2019, disponible en
[http://repositorio.ucam.edu/bitstream/handle/10952/3982/Rodr%C3%ADguez_
Garc%C3%ADa_Ana%20N%C3%A1yare.pdf?sequence=1&isAllowed=y ], p. 20.
36
Ibíd.
37
Jorge Jairo Posada. “Jerome Bruner y la educación de adultos”, Boletín, n.º 32, diciembre
36
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
El desarrollo intelectual del individuo en un contexto determinado
se caracteriza solo por la capacidad de respuesta a ese mismo medio o
lugar donde se sitúe e incluso donde interactúe, por la capacidad mis-
ma de hacerle frente a ciertos eventos o circunstancias y por la capaci-
dad de organizar el tiempo y la atención de forma oportuna en función
de las exigencias que se le hacen presente. Del mismo modo, el apren-
dizaje pasa por este mismo procedimiento, en tanto sus niveles logren
reorganizarse, permitiendo una mayor comprensión y aprehensión
del conocimiento, al cual se le conoce como aprendizaje por descubri-
miento. En este sentido, el sujeto no adquiere el conocimiento por una
simple operación mecánica, sino que el sujeto puede lograr su conoci-
miento a partir del hallazgo del sentido mediante sus propios recur-
sos y competencias. De acuerdo a Ruth Benítez y Margareth Tello,
algunas consideraciones en torno a las propuestas de Aprendizaje por
descubrimiento pueden ser:
Todo el conocimiento real es aprendido por uno mismo, El significado es pro-
ducto exclusivo del descubrimiento creativo y no verbal. El conocimiento ver-
bal es la clave de la transferencia. El método de descubrimiento es el principal
para transmitir el contenido. La capacidad para resolver problemas es la prin-
cipal de la educación. El entrenamiento en la heurística del descubrimiento es
más importante que la enseñanza de la materia de estudio. Cada niño es un
pensador creativo y crítico. La enseñanza expositiva es autoritaria El descu-
brimiento organiza de manera eficaz lo aprendido, para emplearlo ulterior-
mente. El descubrimiento es el generador único de motivación y confianza en
sí mismo. El descubrimiento es una fuente primaria de motivación intrínseca.
El descubrimiento asegura la conservación del recuerdo38.
Bajo esta mirada, se instaura una teoría de la instrucción, que además
busca desarrollar un currículo que establezca las funciones intrínsecas
del propio mecanismo de aprendizaje que se manifiesta en una especie
de 1993, pp. 49 a 54, disponible en [https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=
s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwiYm4mGwcjsAhVExVkKHfzKAA0
QFjABegQIAhAC&url=https%3A%2F%2Fwww.academia.edu%2F1429602%2FJerome_
Bruner_y_la_educaci%25C3%25B3n_de_adultos&usg=AOvVaw30Q1EajQI5y66gaj
pt828 ], p. 49.
38
Ruth Benítez y Margareth Tello. Teoría del aprendizaje por descubrimiento de Bruner,
2016, disponible en [https://es.slideshare.net/Ruth061986/teora-del-aprendizaje-por-
descubrimiento-de-bruner ], p. 9.
37
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
de espiral por lo que el individuo no solo desarrolla la capacidad inna-
ta, sino que convierte los procesos complejos en procesos habituales.
Según Moises Esteban Guilar:
La educación consiste en construir “currículos en espiral”. Es decir, modos
de profundizar más y mejor en un determinado corpus de conocimiento
en función del entendimiento que corresponda al desarrollo cognitivo
del alumno. Por ejemplo, profundizar más y mejor en el conocimiento de
la “bicicleta”. Primero mediante una acción directa con ella: “montar en
bicicleta”, después mediante un dibujo o representación gráfica y, finalmente,
mediante una definición de ella39.
La teoría en la cual se fundamenta este pensador equivale a la instau-
ración de novedosos esquemas, no solo de pensamiento, sino de con-
ductas, además de procedimientos que se caracterizan por desarrollar
acciones en torno al aprendizaje y al conocimiento cada uno. De allí
que se hable de una dinámica cuyo sentido está orientada a generar
procesos tangibles.
39
Moises Esteban Guilar. “Las ideas de Bruner: ‘de la revolución cognitiva’ a la ‘revolución
cultural’”, Educere: Revista Venezolana de Educación, vol. 13, n.º 44, 2009, pp. 235 a 241,
disponible en [https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=3135518&orden=23
6488&info=link ], p. 237.
38
Capítulo tercero
El desarrollo y el pensamiento lógico matemático
El desarrollo de las capacidades en áreas de las ciencias matemáticas pue-
de generar procesos que busquen establecer los alcances meta cognitivos
en los sujetos que intervienen en el proceso complejo de enseñanza y de
aprendizaje; así como también crear mecanismos sólidos de pensamien-
to lógico. Sin embargo, un campo inexplorado dentro de este intrincado
procedimiento puede llegar a determinar los logros, así como las compe-
tencias que los sujetos alcancen adquirir con el tiempo. Así como las ca-
pacidades que el individuo posee y desarrolla como los niveles de razona-
miento, la comunicación matemática y la resolución de problemas. Sobre
este particular, Julia Angela Ramón Ortiz y Jesús Vílchez infieren:
Los contenidos del área de matemática […] tienen como finalidad desarrollar
las formas de actuar y pensar matemáticamente en diversas situaciones
que permitan al estudiante interpretar e intervenir en la realidad a partir
de la intuición, planteando supuestos, haciendo inferencias, deducciones,
argumentaciones, demostraciones, formas de comunicar y otras habilidades,
así como el desarrollo de métodos y actitudes útiles para ordenar, cuantificar,
medir hechos y fenómenos de la realidad40.
Visto así, a raíz de los cambios que ha sufrido la sociedad, en este caso la
sociedad de consumo, se ha hecho necesario replantear diversas y dis-
tintas fórmulas que han permitido el avance o el retroceso de la misma,
lo que ha generado distancia en relación a muchos factores, entre ellos
40
Julia Angela Ramón Ortiz y Jesús Vílchez. “Tecnología Étnico-Digital: Recursos Didácticos
Convergentes en el Desarrollo de Competencias Matemáticas en los Estudiantes de Zona Ru-
ral”, Información Tecnológica, vol. 30, n.º 3, 2019, pp. 257 a 268, disponible en [https://scielo.
conicyt.cl/pdf/infotec/v30n3/0718-0764-infotec-30-03-00257.pdf ], p. 258.
39
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
los de índole educativos. La enseñanza de las matemáticas a partir de
la grave crisis planetaria se superpone para contrarrestar los negativos
impactos en cualquier disciplina del saber. Tal es el caso del desarrollo
de las capacidades en áreas de manera estrecha vinculadas al pensa-
miento matemático y científico de los estudiantes, el cual se considera
fundamental debido a aspectos que van desde la capacidad de produ-
cir conocimientos hasta el pensamiento innovador y reflexivo-crítico.
De allí que es importante desarrollar, no solo lo concerniente al pensa-
miento para la resolución de problemas, sino aquello que proporcione
recursos para darle solución a problemas comunes cotidianos.
V. Pensamiento Lógico
El pensamiento tiene sus raíces en la configuración misma del pen-
samiento, además se estructura desde las primeras etapas del creci-
miento y posterior a edades maduras del individuo. Los participantes
exploran su medio, observan su entorno y forman relaciones entre am-
bos al llevar a cabo actividades concretas mediante la manipulación de
recursos y el diseño de esquemas, dibujos, gráficos, entre otros. Estas
dinámicas le ofrecen al individuo la representación mental y, una vez
que las situaciones se hayan experimentado, aparte de las vividas, la
interiorización que pone en marcha diversas manifestaciones simbó-
licas, de pensamiento y de síntesis de las acciones sobre lo real, para
después ir desplazándose a etapas de abstracción.
El pensamiento lógico está de manera estrecha abrazado a las pro-
puestas de indagación acerca de la realidad tangible, por lo que es im-
portante hacer notar que, en el aprendizaje matemático, la resolución
de problemas pasa por fuerza por hallar un contexto donde este tenga
que ver con la realidad del participante. Para ello, Ramón Ortiz y Víl-
chez exponen lo siguiente:
Es fundamental que toda actividad matemática esté relacionada con
actividades diarias de los estudiantes, pues un problema matemático afecta
inmediatamente al individuo y al modo en que este percibe el problema
conectado a un entorno laboral o de trabajo, a través de la construcción41.
41
Ibíd., p. 262.
40
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
Además, el estudio sistemático de una ciencia permite al individuo
generar un conjunto de acciones directas, es decir, que para poder
transformar se debe saber el contenido de aquello que se pretende lle-
var a cabo, puesto que una actividad ofrece la indagación sobre cier-
tas estructuras mentales y contextuales. Por lo tanto, es importante
dejar claro que “una buena enseñanza-aprendizaje de la matemática
exige buenas condiciones ambientales y didácticas en las instituciones
educativas”42.
Al iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje se deben considerar
ciertos aspectos, los cuales van a establecer miramientos asertivos en
tanto estructuras mentales, como aquellas de las cuales el sujeto va ad-
quiriendo de forma natural, lo que se entiende como los esquemas que
ya el individuo posee desde que los mecanismos normativos hicieron
su aparición hasta convertirse en conocimientos mucho más concretos
y, en cierta manera, más lógicos desde el punto de vista estructural. Di-
chas operaciones o procedimientos van desde la fórmula de conjeturas
hasta un método deductivo, cada uno.
Desde el propio pensamiento lógico matemático, el estudio en el
campo de las ciencias es determinante dado la complejidad de los mis-
mos sistemas operativos que intervienen en ellas. De acuerdo a Cris-
tian Alfaro Carvajal et al.:
El concepto de demostración matemática ha evolucionado históricamente. Lo
que es una demostración y cuándo es válida es una construcción o comprensión
relativa al contexto sociocultural que se considere. La mayor parte de las
ciencias, incluyendo a las matemáticas, utiliza la inducción junto con la
intuición para enunciar proposiciones. En las matemáticas, el razonamiento
inductivo permite observar patrones en búsqueda de regularidades para la
generalización y formulación de conjeturas43.
En este campo, este implica desarrollar ideas, así como indagar sobre
los fenómenos, establecer inferencias acerca de los resultados y expre-
42
Ibíd., p. 263.
43
Cristian Alfaro Carvajal, Pablo Flores Martínez y Gabriela Valverde Soto. “La
demostración matemática: significado, tipos, funciones atribuidas y relevancia en el
conocimiento profesional de los profesores de matemáticas”, en Uniciencia, vol. 33, n.º
2, julio-diciembre de 2019, pp. 55 a 75, disponible en [https://www.scielo.sa.cr/scielo.
php?script=sci_arttext&pid=S2215-34702019000200055 ], p. 61.
41
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
sar conclusiones e interrelaciones entre las partes. Tanto la demostra-
ción que es esencial en las operaciones lógicas como el razonamiento
ofrecen formas diversas de argumentación basados por supuesto bajo
la mirada de la lógica. En este sentido, razonar y pensar implica señalar
e identificar los esquemas y estructuras en situaciones determinadas
específicas y en contextos reales. Esta dimensión podría, de igual ma-
nera, estar bajo dimensiones abstractas.
VI. Comunicación Matemática
No se puede negar la existencia de un código específico para el desarro-
llo de la ciencia. En lo particular la matemática tiene un discurso y un
lenguaje específico por el cual los individuos establecen una relación
simbólica desde las ciencias matemáticas; esta comunicación debe
ser, por lo tanto, fluida y debe procurar la interpretación exhaustiva
de los códigos. En este aspecto, Olga Antonieta Porras y Lourdes
Quintero señalan que:
La atención minuciosa por parte del docente ante el discurso del estudiante
debe complementarse siempre con la observación de su manejo de los objetos
tratados, para que quede establecida la necesaria coherencia o, en caso contrario,
el docente tiene la oportunidad de plantear la incoherencia y emprender con
el estudiante una indagación sobre sus causas, en un ejercicio de reflexión
compartida que enriquece notablemente la experiencia de aprendizaje. Es
responsabilidad del docente construir un espacio comunicativo efectivo para
lograr este fin. Para ello, es indispensable escuchar a los estudiantes, y, sin
deslegitimizar los significados incorporados por ellos a través de la cultura en
la cual están inmersos (por ejemplo, significados apropiados en el contexto de
la calle) convidarlos a explorar e incorporar significados nuevos que permitan
ampliar sus concepciones previas y producir conocimiento en un espacio
comunicativo compartido44.
44
Olga Antonieta Porras y Lourdes Quintero. “Comunicación verbal para promover el
desarrollo del razonamiento matemático de estudiantes que inician estudios universita-
rios”, Educare, vol. 23, n.º 1, 2019, pp. 138 a 158, disponible en [https://dialnet.unirioja.
es/servlet/articulo?codigo=6963162&orden=0&info=link ].
42
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
VII. Resolución de Problemas
La resolución de problemas, así como sus posibles soluciones ante
la vastedad presentada puede significar que el estudiante se enfren-
te a una serie de aspectos relacionados con su entorno, para darle
solución inmediata a partir de las nociones primitivas que tenga
para solucionar dichos problemas; también puede significar que,
teniendo la capacidad intelectual para darle salida a una situación
particular, no halle el código específico para tales fines. Esta área
permite fortalecer esta capacidad para lo cual es fundamental to-
mar en cuenta la importancia de comprender, lo cual se homologa
en la medida en que ambas se desarrollan tal y como sus niveles de
importancia estén en la misma búsqueda. En este sentido, la capa-
cidad tanto de formular como de organizar pueden servir para las
posibles resoluciones.
La resolución de problemas como estrategia que busca de manera
precisa la medición de las competencias numéricas, pasa por ser tam-
bién un proceso por medio del cual la habilidad verbal tiene mucho
que ver, puesto que en dicha adquisición actúan muchos procesos que
intervienen en la resolución de problemas, en específico en las mate-
máticas. Para Marques, citado por Irma Lagos Herrera et al.:
La resolución de problemas matemáticos implica varias operaciones cognitivas,
por ejemplo, la lectura comprensiva del enunciado, la comprensión de las
cantidades y de las relaciones de las entidades evocadas a la conversión de la
información del registro de la lengua natural al registro simbólico, la selección
de estrategias de procedimientos y la realización de los cálculos numéricos
que evidencien un resultado plausible como respuesta a la cuestión planteada
en el problema45.
45
Irma Lagos Herrera, Paula Flores Carrasco, Eliana Rifo Gutiérrez, Johana Garcés
Almendras, Lilian Vargas Villar, Rubén Abello Riquelme, Sixto Martínez Hernán-
dez y Jorge Cid Anguita. “El modelo interactivo en la comprensión lectora, resolución
de problemas aritméticos y algunos factores socioafectivos”, en Paideia, n.º 62, 2018, pp.
17 a 41, disponible en [http://revistasacademicas.udec.cl/index.php/paideia/article/
view/712/1266 ], p. 23.
43
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
VIII. Recuperación de saberes previos
Un hecho sabido por todos, pero aún no aceptado es que los estudian-
tes traen consigo un cúmulo de conocimientos, experiencias, concep-
tos y valoraciones personales previos al momento de ingresar al aula
de clases. Ellos poseen conocimientos construidos de antemano, a tra-
vés de un sistema también aprendido con antelación, de manera que, al
momento de ingresar al salón de clases, el estudiante maneja un caudal
de conocimientos, aun cuando estos no están sistematizados y organi-
zados del todo. Los conocimientos previos son un excelente aspecto en
pro del aprendizaje de los estudiantes, puesto que permiten establecer
relaciones entre aquellos saberes que trae consigo, y los que apren-
de en la escuela. De acuerdo a Ausubel, citado por Dorenis Josefina
Mota Villegas y Ricardo Enrique Valles Pereira:
La adquisición de información nueva depende en alto grado de las ideas perti-
nentes que ya existen en la estructura cognitiva, y el aprendizaje significativo
de los seres humanos ocurre a través de una interacción de la nueva informa-
ción con las ideas pertinentes que ya existen en la estructura cognitiva46.
De un enfoque orientado a la cognición surge el concepto de conoci-
miento previo y está asociado de manera fundamental con el aprendi-
zaje significativo, sin embargo, la estructura mental no está separada
de las experiencias que pueda adquirir el individuo en el proceso de
aprendizaje. De naturaleza esencial los conocimientos previos servirán
no solo de relacionantes para el esclarecimiento de los conocimientos
que se acomoden a los preexistentes, antes bien, la existencia de los
conocimientos puede visualizarse debido a los complejos que estos
puedan a ser. Pero con la advertencia de que los saberes previos son
construcciones individuales que nunca estarán bajo la mirada colecti-
va debido a que son configurados desde la propia experiencia.
Para recuperar los conocimientos previos de los participantes en el
proceso de aprendizaje se deben tener claro los conocimientos que se
46
Dorenis Josefina Mota Villegas y Ricardo Enrique Valles Pereira. “Papel de los co-
nocimientos previos en el aprendizaje de la matemática universitaria”, Acta Scientiarum.
Education, vol. 37, n.º 1, 2015, disponible en [https://dialnet.unirioja.es/descarga/arti-
culo/4955073.pdf ], p. 88.
44
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
han adquirido al tomar en cuenta su relevancia y significación para los
individuos. En este sentido, es necesario escudriñar por diversos me-
dios, aquello que los estudiantes conocen sobre los contenidos, con la
finalidad de poder diferenciar y establecer entre ambos horizontes o
ámbitos del conocer. En este aspecto, siempre es recomendable la ex-
ploración sistemática del docente en las primeras etapas de aprendizaje
académico. Propiciar situaciones, en este sentido, es asumir que el es-
tudiante establezca por sí solo las diferencias entre aquel conocimiento
que construyó y el conocimiento que apenas se adquiere por vía formal.
Una forma interesante de recuperar estos conocimientos es solicitar a
los estudiantes que describan o dibujen un objeto cualquiera, de esta
manera, el docente podrá evaluar, además de sistematizar todo el co-
nocimiento que los participantes traen consigo, y de qué manera este
contempla una serie de ideas, conceptos y teorías. De tal forma, que el
profesor también valore aquel conocimiento que traen los estudiantes; y
a su vez que éstos tengan conciencia acerca de los aprendizajes formales.
Es muy importante conferirles una confianza manifiesta a los cono-
cimientos previos a la hora de iniciar una sesión de clases debido a que
los saberes previos servirían de plataforma para que el conocimiento
institucionalizado se fije de manera directa, además de obedecer a una
excelente estrategia que permita el afianzamiento de otros aspectos
correlativos al aprendizaje.
IX. Elaboración del nuevo saber
¿Se podría sostener la idea de que los estudiantes construyen signifi-
cados a partir de experiencias específicas? Cuando los referentes por
desarrollar o aprender son de manera potencial significativos, es decir,
tienen sentido, además son precisos y lógicos; son capaces de instau-
rar relaciones sustantivas y no coercitivas entre aquel conocimiento
que apenas se muestra, y el otro que ya existe. Estas relaciones varían
de acuerdo a las exigencias preliminares de cada uno, de allí la rele-
vancia de que el educador esté consciente y tome en consideración el
contexto de los educandos que traen al salón de clases.
El aprendizaje de algo nuevo es consecuencia de un proceso dinámi-
co, dirigido a consolidar una representación mental del nuevo aprendi-
zaje, entre los que se conoce como habilidades, conceptos, actitudes, en-
45
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
tre otros. Cada individuo vive el proceso de aprendizaje de acuerdo a sus
propias experiencias de vida y a las experiencias previas construidas a lo
largo de su historia. Sin embargo, este proceso no es del todo satisfacto-
rio debido a una inquietante forma que se teje en torno al proceso que se
manifiesta cuando ambos horizontes se entrecruzan, al generar dudas,
inquietudes, conflictos e interrogantes, pero esta dinámica permitirá
que el conocimiento consolidado a través del tiempo sea el que permita
el afianzamiento del mismo. Para que esta actividad se logre consolidar
es menester que el docente propicie este proceso, en primer lugar, el do-
cente debe generar una serie de acciones cónsonas que logren activar
los mecanismos internos y externos; por ejemplo, que los participantes
tengan la posibilidad de relacionar, observar, comparar, plantear, hacer
deducciones y formular hipótesis. De esta manera, se ejercitan las ha-
bilidades que implican el desarrollo potencial de las que trae consigo y
el desarrollo de situaciones y problemas mediante la ejecución de inte-
rrogantes, para ello, es importante apoyar a los estudiantes a elaborar
relaciones relevantes entre lo conocido y el nuevo saber que apenas se
incorpora. Es importante hacer notar que cada individuo no solo apren-
de el conocimiento de forma particular, sino que observa lo aprendido,
así como las habilidades, competencias e intereses en el campo del sa-
ber. Un aspecto importante a saber es lo relacionado a la armonía que
debe respirarse en el contexto de aprendizaje puesto que determinará la
eficacia de los procesos finales de aprendizaje, al respecto, Lilian Mer-
cedes Jaramillo Naranjo señala que:
La armonización de la teoría del conocimiento en el contexto educativo implica
articular abordajes teóricos que potencien la investigación científica en los
estudiantes, para provocar en ellos la curiosidad, indagación y comprobación
de saberes como producto de la significatividad lógica del saber para ser
aplicado a nuevas realidades significativas el conocimiento científico, con la
posibilidad de ser transferido a realidades diversas en función de la cultura e
identidad. Del mismo modo, se verá la extrapolación en forma íntegra cuando
los estudiantes culminen la formación educativa cuyos saberes productivos se
reflejarán en la vida laboral47.
47
Lilian Mercedes Jaramillo Naranjo. “Las ciencias naturales como un saber integrador”,
en Sophia: Colección de la Educación, vol. 26, n.º 1, 2019, disponible en [http://scielo.
senescyt.gob.ec/pdf/sophia/n26/1390-3861-sophia-26-000199.pdf ], p. 202.
46
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
La generación de estos estadios se reflejará no solo en el aprendi-
zaje que los estudiantes adquieran, sino que también versará sobre el
desempeño personal de cada uno de ellos, así mismo, en actitudes de-
mocráticas y de qué manera las respuestas a cada situación presentada
serán efectivas, debido a un proceso de maduración como parte de los
aprendizajes que logre desarrollar a través del tiempo. Otro de los as-
pectos importantes a saber lo constituye la toma de decisiones acer-
tadas, en tanto que las actitudes se verán reflejadas debido a un com-
plejo mecanismo de acción que se mostrará sobre todo en la práctica
educativa.
Un rasgo sobresaliente en este campo es la incorporación de los
aprendizajes a la vida de los individuos. En este sentido, cuando el
aprendizaje se ha hecho parte significativa de la vida cotidiana de un su-
jeto es porque le es útil en diferentes circunstancias. No es suficiente que
el estudiante repita de memoria el nuevo conocimiento o saber, de igual
modo una habilidad o alguna actitud, pues es necesario que demuestre
las evidencias de lo aprendido y lo aprehendido cada uno, no obstante,
estos aprendizajes deben reflejarse no solo como sujeto, también su en-
torno debe mostrar que el aprendizaje ha sido efectivo. Para ello, el faci-
litador debe procurar actividades de observación y sistematización que
evidencie la existencia de nuevas y efectivas situaciones de aprendizaje.
De igual manera, oportunas y eficaces prácticas docentes deben estar
presentes en el acto educativo con la finalidad de incitar a los estudian-
tes a la investigación. Para Raúl Prada Núñez et al.:
Se puede definir una buena práctica pedagógica como el conjunto de
actividades para el aprendizaje, que logran eficazmente los objetivos
propuestos y que tienen capacidad de replicabilidad y poder de demostración.
En este sentido, las buenas prácticas han de ser innovadoras, pero también
desarrollar la capacidad de incitar a otros a replicarlas y adaptarlas a su
propio contexto. Este conjunto de actividades contempla el uso de recursos
didácticos adecuados, el diseño de estrategias didácticas y de una evaluación
del aprendizaje48.
48
Raúl Prada Núñez, César Augusto Hernández Suárez y Audin Aloiso Gamboa. “Usos
y efectos de la implementación de una plataforma digital en el proceso de enseñanza de
futuros docentes en matemáticas”, Revista Virtual Universidad Católica del Norte, n.º 57,
2019, pp. 137 a 156, disponible en [https://revistavirtual.ucn.edu.co/index.php/Revis-
taUCN/article/view/1059/1500 ], p. 140.
47
47
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
Al hacerse evidente las actividades que inviten a la generación de
nuevos y oportunos aprendizajes, se crea el hábito para el desarrollo y
la aparición de nuevos esquemas de pensamiento, de igual manera, las
nociones críticas entre el docente y el participante que son piezas in-
dispensables en el proceso de enseñanza y de aprendizaje. Otro de los
componentes necesarios en este recorrido es que el estudiante pue-
da hacer uso de los conocimientos adquiridos en situaciones reales y
no reales. Además, que la incorporación de las habilidades o actitu-
des necesitan de mayor ejercitación y, por supuesto, de tiempo para
la apropiación o acomodación de conceptos, permitiendo que el estu-
diante logre desarrollar otras habilidades, en tanto que su experien-
cia se transforma en un aprendizaje profundo. Un campo inexplorado
por la educación tiene que ver con el desconocimiento de este tipo de
aprendizaje: el aprender haciendo. De acuerdo con Marlene Marga-
rita Mendoza Yépez:
El aprender haciendo para lograr en los estudiantes un aprendizaje profundo,
que le posibilite tomar decisiones sobre los contenidos y los métodos, hay
una correlación de experiencias no solo cognitivas también sensoriales y
físicas que se van construyendo de manera rozada, organiza el aprendizaje
responsablemente como resultado de razonamientos de acuerdo al avance del
proyecto, pues se van formulando temas de interés que conectan los saberes
de varias disciplinas con el contexto donde se desarrolla el proyecto que no
necesariamente debe ser dentro de la institución49.
X. Enseñanza
La enseñanza parte de manera fundamental de dos dimensiones esen-
ciales para que se logren los objetivos: confianza y motivación. La pri-
mera está orientada a que el participante logre desplegar sus habilida-
des, conocimientos y actitudes para el logro de tales fines y la segunda
está orientada a que el docente incite a la creación de novedosos con-
ceptos para el logro de los objetivos que se tienen en el proceso de
49
Marlene Margarita Mendoza Yépez, Nancy Isabel Cargua García y Ángel Freddy
Rodríguez Torres. “El proyecto integrador de saberes una oportunidad para aprender
a aprender”, Revista Digital de Educación Física, vol. 10, n.º 57, pp. 62 a 77, disponible en
[https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/6860154.pdf ], p. 66.
48
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
aprendizaje. Es importante destacar, en este sentido, que tanto el do-
cente como el estudiante participan de forma activa de este proceso,
sin que uno esté por encima del otro, ambos se deben complementar
en tanto simbiosis correlativa y educativa. Aun cuando la enseñanza se
caracteriza en esencia por la trasmisión de los saberes consolidados,
un elemento determinante es que la enseñanza también se adquiere a
partir de los referentes que trae consigo el estudiante. En este sentido,
lo cotidiano como aspecto medular puede desencadenar en ámbitos
que no se tenían en cuenta. Sobre este tema, Yerlys Aimara Sánchez
Araque señala:
La cotidianidad en el ámbito educativo puede generar grandes aportes
permitiendo aprovechar las oportunidades sociales en los estudiantes,
desarrollando la curiosidad y creatividad que se pueden englobar con
los saberes cognitivos, afectivos y valorativos para formar a un ser más
humanista50.
Cabe señalar que en los ámbitos cotidianos se organizan los sentidos de
los aprendizajes, además de un conjunto de aspectos cuya valoración es-
tán en permanente diálogo con las formas en que se manifiestan los co-
nocimientos. Dentro del campo de las ciencias matemáticas, este rasgo
es determinante debido a un complejo e intrincado procedimiento.
A. Estrategias de enseñanza
Para que un proceso de enseñanza-aprendizaje se logre consolidar en
el tiempo es menester que el docente facilitador analice con atención
las estrategias que pretende llevar a cabo, de manera que estas per-
mitan que los estudiantes aprendan a pensar por sí mismos, y sean
capaces, en este sentido, de poner en práctica lo aprendido y lo apre-
hendido. Entre las estrategias sugeridas están aquellas que permiten
que el estudiante desarrolle las capacidades para aprender aprendien-
do, en este aspecto, es importante que el docente facilitador seleccione
50
Yerlys Aimara Sánchez Araque. “Complejidad - cotidianidad - etnomatemática en la
enseñanza de las matemáticas”, en Praxis Investigativa Redie, vol. 11, n.º 20, 2019, pp. 23
a 35, disponible en [https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/6951587.pdf ], p. 25.
49
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
las estrategias más apropiadas que desea que se implementen para el
logro de ciertos y oportunos objetivos. En atención a lo señalado, para
Natalia Araya Ramírez:
Uno de los retos de la educación es enseñar al educando a pensar, por lo tanto,
es necesario el uso de metodologías y modelos de evaluación que inviten a
los estudiantes a desarrollar al máximo su capacidad intelectual, con el fin
de favorecer las competencias comunicativas y el logro de aprendizajes
significativos. Para desarrollar la capacidad intelectual, la potenciación de las
habilidades de pensamiento en los procesos educativos dentro de espacios
curriculares, favorece la integración de aprendizajes significativos, lo que
permite al individuo organizar y reelaborar el conocimiento, ser autónomo y
consciente de su progreso intelectual51.
Tal valoración es destacable debido a la complejidad de las socieda-
des actuales, por lo que los niveles de exigencia de los estudiantes se
elevan, consiguiéndose de esta manera aspectos de desarrollo a nivel
neurológico y cognitivo. Además, de incrementar las habilidades y una
mayor capacidad para darle solución a aspectos tanto de su vida como
del entorno donde esté el sujeto.
B. Capacidad de observar
Este rasgo permite la adquisición de una mayor conciencia de las
características que poseen los objetos percibidos y se puede desa-
rrollar al tomar la siguiente estrategia: ofrecer una situación proble-
ma que permita problematizar para poder generar procesos muchos
más complejos que den solución a asuntos precisos de la vida real.
Además, este componente persigue en especial la capacidad de ob-
servar el objeto desde el inicio hasta el final, al disponer situaciones
específicas; por ejemplo, plantearse cuestiones cotidianas que gene-
ren respuestas o reacciones, estas deben estar acompañadas de inda-
gaciones, así como la formulación de ideas y pre conceptos sobre es-
tas situaciones en particular. Otra de las dimensiones es la capacidad
51
Natalia Araya Ramírez. “Las habilidades del pensamiento y el aprendizaje significati-
vo en matemática de escolares de quinto grado en Costa Rica”, Revista Actualidades In-
vestigativas en Educación, vol. 14, n.º 2, mayo-agosto de 2014, pp. 1 a 30, disponible en
[https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/aie/article/view/14744/14087 ], p. 3.
50
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
de comparar, la cual requiere de la capacidad de reconocer y observar
tanto las semejanzas que existan como las diferencias entre una o dos
ideas, situaciones u objetos determinados. Esta capacidad establece
las diferencias entre lo que significa para los estudiantes las diversas
posturas de una educación tradicional y una escuela propuesta desde
la innovación, por lo que los participantes al verse involucrados bajo
un sistema repetitivo no confieren importancia, ni mucho menos no-
tabilidad a los procesos de comparación. Para Jerver Senodio Huiza
Herrera:
La educación tradicional desde los primeros años de estudios hasta el
nivel de posgrado ha formado estudiantes que comúnmente se encuentran
poco motivados y hasta aburridos con su forma de aprender, se les obliga
a memorizar una gran cantidad de información, mucha de la cual se vuelve
irrelevante en el mundo exterior a la escuela o bien en muy corto tiempo, se
presenta en los alumnos el olvido de mucho de lo aprendido y gran parte de
lo que logran recordar no puede ser aplicado a los problemas y tareas que se
les presentan en el momento de afrontar la realidad. Como consecuencia de
una educación pasiva y centrada en la memoria, muchos alumnos presentan
incluso dificultad para razonar de manera eficaz y al egresar de la escuela,
en muchos casos, presentan dificultades para asumir las responsabilidades
correspondientes a la especialidad de sus estudios y al puesto que ocupan,
de igual forma, se puede observar en ellos la dificultad para realizar tareas
trabajando de manera colaborativa52.
Si bien estas capacidades son importantes a la hora de implementar
situaciones particulares, en situaciones específicas una de las capa-
cidades necesaria es aquella que permite inferir, la cual consiste en
emplear la información o los conocimientos para poder procesarla y
otorgarle algún sentido particular. En este nivel, los participantes co-
mienzan a utilizar y procesar las informaciones más allá de lo mero
instrumental o mecánico como, por ejemplo, llevar a cabo predicciones
a partir de un ejercicio narrativo, señalar los puntos personales y de las
52
Jerver Senodio Huiza Herrera. “El método de aprendizaje basado en problemas en
la capacidad de matematizar situaciones en los niños(as) del 5.º “A” de la IE. N.º 36003
Santa Ana Huancavelica”, tesis de pregrado, Huancavelica, Universidad Nacional de
Huancavelica, 2018, disponible en [http://repositorio.unh.edu.pe/bitstream/handle/
UNH/1995/TESIS-EDUC.PRIMARIA-2018-HUIZA%20HERRERA%2cJERVER%20S..
pdf?sequence=1&isAllowed=y ], p. 21.
51
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
demás personas, establecer comparaciones entre aquello que piensa el
docente en relación con el pensamiento colectivo, entre otros.
C. Capacidad de describir y explicar
Este tipo de capacidades permite la expresión sucesiva y como es de-
bido ordenada de las partes de un todo, por lo que su principal objeti-
vo es enumerar las características de un determinado objeto, hecho o
individuo. Este tipo de capacidades además de lo anterior, establece la
descripción y la explicación de algo en forma coherente, por lo que sus
niveles de demanda son más exigentes y amerita, por lo tanto, mayor
organización y planificación, en este sentido, es importante emplear
situaciones comprensibles de manera que estas se puedan internali-
zarse con mayor precisión.
52
Capítulo cuarto
Los diez mandamientos: métodos
y capacidades en el aprendizaje de las
matemáticas, análisis y resultados
El proceso de enseñanza y aprendizaje comporta una serie de actitu-
des que tanto el docente como el participante están en la capacidad de
afrontar tanto en un contexto definido como tal, como en los diversos
escenarios de acción donde el proceso de enseñanza se manifieste. La
enseñanza de las ciencias, en este caso de las matemáticas pertene-
cientes a las ciencias duras de acuerdo a distintas definiciones que se
le han dado, ha sido infructuosa debido a los procesos inviables en mu-
chas ocasiones con los procedimientos instrumentales empleados en
la elaboración de ejercicios y en la resolución de problemas básicos y
elementales.
No obstante, su enseñanza ha sido accidentada, al no considerar as-
pectos vinculados al contexto de convivencia de sus participantes que
es determinante en tanto que establece posibles soluciones a aspectos
que ameritan una intervención científica, por lo tanto, proclive a ser
medible, o desde su aproximación probable. La aplicación de estrate-
gias como la propuesta puede no solo ofrecer que el participante ad-
quiera formas de resolver situaciones específicas en el área, sino que la
propuesta sugerida busca que el estudiante establezca acercamientos
profundos sobre las ciencias para aplicarlas en terrenos cotidianos y
producir conocimientos en torno a ellas. Del mismo modo, sumado a
las técnicas empleadas en el diario vivir de los estudiantes, también se
deben considerar los diversos métodos de enseñanza-aprendizaje que
logran sostenerse en el tiempo, si y solo si derivan de significaciones
manifiestas por parte de los participantes. En este orden de ideas, el
desarrollo de los Diez Mandamientos como estrategia para el desarro-
53
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
llo de las ciencias en el aula de clases, no solo permitió la adecuación
de los métodos de enseñanza, sino que además logró niveles de co-
municación fluida. Esto garantizó la puesta en marcha de las estrate-
gias que fueron direccionadas mediante la aplicación de objetivos, los
cuales giraron en torno a los niveles de incidencia directa que tiene el
método de los Diez Mandamientos en el rendimiento académico de los
estudiantes, además sobre los niveles de conocimientos previos que
traen los estudiantes al momento de ingresar a la escuela porque, se-
gún Fernando Savater53, el hogar constituye la primera escuela del
individuo, la cual la denominará socialización primaria.
Como método heurístico el desarrollo de los Diez Mandamientos
pasa por ser un proceso cuyo eje central lo ofrecen en particular sus
objetivos, los cuales se han desarrollado durante el proceso investi-
gativo. Los objetivos medulares de este libro han girado en torno a la
evaluación de los efectos de la aplicación del método de los Diez Man-
damientos para el mejor desempeño de las actividades en contextos
determinados. Así mismo, con el desarrollo de este texto se consiguió
determinar los niveles óptimos de desarrollo y razonamiento matemá-
tico, la resolución de problemas en los estudiantes, la interpretación
de los saberes y construcciones teóricas en lo personal. De igual modo,
esta investigación arrojó la medición de los niveles de desarrollo de ca-
pacidades de razonamiento matemático en áreas de cerca vinculadas a
las teorías de conjunto, entre otros componentes.
I. Objetivo general
Evaluar los efectos de la aplicación del método los Diez Mandamientos
en la mejora de los niveles de desarrollo de razonamiento mate-
mático en estudiantes del primer ciclo de la Facultad de Ciencias
de la Educación de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán de
Huánuco.
53
Fernando Savater. El valor de educar, Madrid, Ariel, 1997, disponible en [https://gran-
deseducadores.files.wordpress.com/2015/04/el-valor-de-educar.pdf ].
54
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
II. Objetivos específicos
- Determinar el nivel de competencia matemática, antes de la
aplicación del método los Diez Mandamientos, en estudiantes
del primer ciclo de la Facultad de Ciencias de la Educación de la
Universidad Nacional Hermilio Valdizán de Huánuco.
- Analizar los niveles de desarrollo de razonamiento matemático,
posterior a la aplicación o no, del método los Diez Mandamientos,
en estudiantes del primer ciclo de la Facultad de Ciencias de
la Educación de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán de
Huánuco.
- Explicar la variación de los resultados en los grupos experimen-
tal y control, respecto al desarrollo de competencia matemáti-
ca y razonamiento matemático, en estudiantes del primer ciclo
de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad
Nacional Hermilio Valdizán de Huánuco.
III. Hipótesis general
La aplicación del método los Diez Mandamientos es efectivo en la me-
jora de capacidades en el área de matemática, en estudiantes del pri-
mer ciclo de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad
Nacional Hermilio Valdizán.
IV. Hipótesis específicas
H1: El nivel de competencia matemática en los grupos experimental y
control, fueron será equivalentes antes de la aplicación del método los
Diez Mandamientos, en estudiantes del primer ciclo de la Facultad de
Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán.
H2: Los niveles de desarrollo de razonamiento matemático, mejo-
rarán de manera significativa posterior a la aplicación del método los
Diez Mandamientos, en estudiantes del primer ciclo de la Facultad de
Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán.
H3: Al finalizar el estudio existirá una variación significativa de los
resultados posterior a la aplicación del método los Diez Mandamientos,
55
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
con respecto al desarrollo de capacidades en el área de matemática en
los estudiantes de los grupos experimental y control, del primer ciclo
de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional
Hermilio Valdizán.
V. Tipo y nivel de investigación
Esta investigación se sustenta en el paradigma positivista con un en-
foque cuantitativo54 y el tipo de investigación fue aplicada, al implicar
que el inconveniente se encuentra determinado y es reconocido por
quien investiga, de allí que usa el análisis para proporcionar explica-
ción a interrogantes concretas. Proyectada con un alcance explicativo,
por orientarse a encontrar las razones o causas que provocan ciertos
fenómenos55. Desde una naturaleza investigativa cuasi experimental,
transversal, sustentada en un diseño con grupos no equivalentes. En
esta estructura de investigación existe un grupo de tratamiento y otro
de control, en ambos las medidas pueden estimarse solo después, o
también, antes y después de la administración del tratamiento56. En
el caso del estudio se consideró un grupo a quienes se les administró
el método de los Diez Mandamientos y otro grupo a quienes no se les
aplicó dicho tratamiento para, después, medir y comparar el compor-
tamiento de ambos grupos de forma diferenciada.
VI. Sistema de variables
Variable Independiente: Método de los Diez Mandamientos
Variable Dependiente: Desarrollo de capacidades
Variable Interviniente: Edad y sexo
54
Roberto Hernández Sampieri, Carlos Fernández Collado y Pilar Baptista Lucio.
Metodología de la investigación, 6.a ed., México, D. F., McGraw-Hill, 2014, disponible en
[http://observatorio.epacartagena.gov.co/wp-content/uploads/2017/08/metodologia-
de-la-investigacion-sexta-edicion.compressed.pdf ]
55
Roberto Hernández Sampieri y Christian Paulina Mendoza Torres. Metodología de
la Investigación. Las rutas cuantitativas, cualitativas y mixtas, México, D. F., McGraw-Hill/
Interamericana Editores, 2018.
56
Hernández Sampieri, et al. Metodología de la investigación, cit.
56
Tabla 1
Operacionalización de variables
Variables
Dimensiones
Indicadores
Instrumentos
Recuperación
Inicia y motiva la clase al presentar los contenidos
de los saberes
Explora y problematiza al indagar por diversos
previos
medios
Propicia un nuevo aprendizaje en el estudiante
Analiza y sintetiza información en equipos de
V. Independiente
expertos
Sesiones y
Elaboración del
Método de los Diez
Analiza y sintetiza información en equipos iniciales
módulos de
Nuevo Saber
Mandamientos
Sistematiza y presenta los problemas resueltos
aprendizaje
Expone el desarrollo de problemas
Evalúa el proceso de aprendizaje
Incorporación del
Entrega a los estudiantes trabajos de profundización
Aprendizaje a la
Realiza trabajos de reforzamiento y retroalimentación
Vida
1. Identifica noción de conjuntos a través de la
relación
Razonamiento y
de pertenencia, inclusión e igualdad
demostración
2. Discrimina enunciados y proposiciones, mediante
(e. Cualitativa
ejemplos de la vida real
ordinal y
3.Analiza conectivos lógicos para obtener
cuantitativa de
proposiciones compuestas
razón)
4. Indica clases de ecuaciones
5. Discrimina conceptos sobre números reales.
6. Determina conjuntos por extensión.
V. Dependiente
Comunicación
7. Representa conjuntos mediante el diagrama de
Desarrollo de
Matemática
Venn
capacidades
Cuestionarios
(E. Cualitativa
8. Determina proposiciones en forma verbal y
en el área de
de pre-prueba y
ordinal y
simbólica
matemática
post-prueba
Cuantitativa de
9. Analiza e infiere esquemas proposicionales y tablas
(escala de
razón)
de valores
medición mixta)
10. Resuelve y verifica ecuaciones con valor absoluto.
11.Resuelve problemas en las que intervienen
diagramas de Venn-Euler
Resolución de
12.Resuelve problemas en las que intervienen
Problemas
diagramas de Lewis Carroll
(E. Cualitativa
13. Resuelve problemas al utilizar la lógica en
ordinal y
circuitos
Cuantitativa de
14.Resuelve problemas que implican aplicación de
razón)
ecuaciones.
15. Resuelve problemas que involucran inecuaciones
E. Básica (g. e.)
18 a 21 años
E. Secundaria
V. Interviniente
18 a 21 años
(g. c.)
Ficha de
Edad
60% mujeres
E. Básica (g. e.)
matrícula
40% varones
E. Secundaria
Sexo
45% mujeres
(g. c.)
55% varones
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
VII. Población
La población general estuvo constituida por los estudiantes de la
Universidad Nacional Hermilio Valdizán, sin embargo, la población de
trabajo estuvo conformada por 144 estudiantes del primer ciclo de la
Facultad de Ciencias de la Educación, matriculados en la asignatura de
matemática (ver Tabla 2).
Tabla 2
Participantes de la Facultad de Ciencias de la Educación de la unheval
Escuela académico
Carrera profesional
N.º de alumnos
profesional
Primaria
42
Educación
Inicial
17
Básica
Educación Física
16
Matemática y Física
34
Lengua y Literatura
17
Educación
Historia y Geografía
07
Secundaria
Filosofía, Psicología y
08
Ciencias Sociales
Biología y Química
03
Total
144
VIII. Muestra
Para calcular el tamaño de muestra, se empleó la fórmula propuesta
por Víctor Manuel Velasco Rodríguez et al.57:
57
Víctor Manuel Velasco Rodríguez, Verónica Araceli Martínez Ordaz, José Roiz
Hernández, Francisco Huazano García y Armando Nieves Rentería. Muestreo y ta-
maño de muestra, Buenos Aires, Libro.nethttps://www.academia.
edu/36141136/MUESTREO_Y_TAMA%C3%91O_DE_MUESTRA_Una_gu%C3%ADa_
pr%C3%A1ctica_para_personal_de_salud_que_realiza_investigaci%C3%B3n ].
58
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
Dónde:
n = Muestra
Z = Coeficiente de confianza o valor crítico, su valor depende del
nivel de confianza (como se trabajó al 95% de confiabilidad, entonces
Z = 1,96)
p = Proporción muestral de un género (50% es lo máximo)
q = Proporción muestral del género complementario a “p” (50% es
lo máximo)
E = Error al estimar la media poblacional (se trabajó al 95% de con-
fiabilidad, entonces la probabilidad de cometer el error fue del 5%)
N = Población (se consideró un total de 144 alumnos)
n = 105 alumnos
Teniendo en cuenta que la muestra es de 105 personas, el siguiente
procedimiento consistió en revelar cómo y de dónde se seleccionaron
a los 105 participantes. Por ello se empleó el tipo de muestreo proba-
bilístico estratificado, cuyo procedimiento fue el siguiente:
59
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
144 ---------------------100%
105 --------------------- x
Esto significó que, del total de cada especialidad o estrato, se obtuvo el
72,92% de estudiantes de manera aleatoria y así completar el tamaño
de la muestra, para ellos se aplicó el siguiente procedimiento:
Quedando:
Tabla 3
Muestra poblacional estratificada de la Facultad
de Ciencias de la Educación de la unheval
Estratificación
Grupos
E.a.p
Tamaño de
N.º de
Experimental
Control
Especialidad
muestra (n)
alumnos
(a)
(b)
(72,92%)
Primaria
42
31
Educación
Inicial
17
12
55
Básica
E. Física
16
12
Matemática y física
34
25
Lengua y literatura
17
12
Historia y geografía
07
05
Educación
50
Secundaria
Filosofía, psicología y
08
06
ciencias sociales
Biología y química
03
02
144
105
55
50
Total
N
N
N1
N2
60
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
La ventaja de esta muestra probabilística es que aumenta la preci-
sión de la muestra, ya que permite el uso deliberado de diferentes ta-
maños de muestra para cada estrato, a fin de lograr reducir la varianza
de cada unidad de la media muestral58.
IX. Análisis e interpretación de los resultados
En el presente bloque, se presentaron los resultados sistematizados
mediante tablas de distribución de frecuencia, figuras estadísticas, me-
didas de tendencia central, medidas de variabilidad y prueba de hi-
pótesis, los mencionados facilitaron el análisis y la interpretación res-
pectiva. De esta manera, el estudio estuvo sustentado en la prueba no
paramétrica U de Mann-Whitney orientada a comparar dos grupos o
muestras independientes y se quiere conocer si existe una diferencia
en la magnitud de la variable estudiada, valiéndose para ello, de datos
ordinales o numéricos.
Tabla 4
Estudiantes pertenecientes a los grupos control
y experimental según notas de la pre-prueba
Escala de
R. D.
C. M.
R. P.
calificación
G. E.
G. C.
G. E.
G. C.
G. E.
G. C.
Literal
Numérica
%
%
%
%
%
%
Fi
Fi
Fi
Fi
Fi
Fi
En inicio
[00 - 10]
40
73
28
56
48
87
31
67
43
78
41
82
En proceso
[11 -13]
14
25
15
30
05
09
13
26
11
20
08
16
Logro
[14 - 17]
01
02
06
12
02
04
06
12
01
02
01
02
previsto
Logro
[18 - 20]
00
00
01
02
00
00
00
00
00
00
00
00
destacado
Total
55
100
50
100
55
100
50
100
55
100
50
100
58
Hernández Sampieri y Mendoza Torres. Metodología de la Investigación. Las rutas
cuantitativas, cualitativas y mixtas, cit.
61
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
En la Tabla 4 se visualizó el puntaje obtenido en la pre-prueba por los
participantes del equipo experimental, en relación a las competencias
de razonamiento y demostración, comunicación, matemática y resolu-
ción de problemas; así como los resultados son idénticos, de acuerdo
a la escala de medición estos se colocan en un nivel de aprendizajes en
inicio (00-10).
Figura 1
Resultados de la pre-prueba sobre razonamiento y demostración
En la Figura 1 se pudo observar que los resultados de la pre-prueba
en torno a las competencias de razonamiento y demostración, el más
elevado porcentaje de los datos de los grupos experimentales (73%) y
control (56%) se sitúan en el primer peldaño por debajo del puntaje
10, este rasgo hace que la figura visualice de forma objetiva en los dos
grupos una alineación positiva.
62
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
Figura 2
Resultados de la pre-prueba sobre comunicación matemática
En la Figura 2 se visualizó que los resultados de la pre-prueba en torno
a la capacidad de comunicación matemática, el más elevado puntaje
de los datos de los grupos experimentales (87%) y control (67%) tam-
bién se ubicó en el primer intervalo por debajo de la nota 10, este rasgo
generó que la figura mostrará de manera objetiva en los dos compo-
nentes una alineación acertada.
63
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
Figura 3
Resultados de la pre-prueba sobre resolución de problemas
En la Figura 3 se visualizó que los resultados obtenidos de la pre-prue-
ba en torno a las capacidades de respuestas, además de la resolución de
conflictos, el mayor porcentaje de los datos de los grupos experimental
(78%) y control (82%) se sitúan en el primer peldaño por debajo de
la nota 10, este rasgo colocó de manera objetiva en los dos grupos una
alineación acertada.
En función del estudio detallado de los datos de la pre prueba,
se afirmó que el nivel de desarrollo de las capacidades en los par-
ticipantes de los grupos experimentales y control en relación a las
ciencias matemáticas son idénticas o equivalentes anterior a la apli-
cación del método de los Diez Mandamientos. Como resultado se
corroboró el primer objetivo y la primera hipótesis planteada en el
proceso investigativo.
64
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
Tabla 5
Estudiantes pertenecientes a los grupos control
y experimental según notas de la post-prueba
Scala
R. D.
C. M.
R. P.
valorativa
G. E.
G. C.
G. E.
G. C.
G. E.
G. C.
Literal
Numérica
fi
%
fi
%
fi
%
fi
%
fi
%
fi
%
En inicio
[00 - 10]
0
0
10
20
0
0
12
24
3
6
17
34
En proceso
[11 - 13]
15
27
22
44
16
29
21
42
19
34
20
40
Logro
[14 - 17]
40
73
16
32
34
62
10
20
22
40
12
24
previsto
Logro
[18 - 20]
00
0
02
04
05
9
07
14
11
20
01
02
destacado
TOTAL
55
100
50
100
55
100
50
100
55
100
50
100
En la Tabla 5 se visualizó que el puntaje obtenido en la post prueba por
los estudiantes del grupo experimental, superó a los del equipo control
en relación a las capacidades de razonamiento y demostración, comu-
nicación matemática y resolución de problema; esta ligera diferencia
se debe a que en el grupo control se encuentran ubicados estudiantes
de la carrera profesional de matemática y física.
65
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
Figura 4
Resultados de la post-prueba sobre razonamiento y demostración
En la Figura 4, respecto a los resultados de la post prueba sobre la ca-
pacidad de razonamiento y demostración, se observó que el mayor
porcentaje de los datos le corresponde al grupo experimental (73%),
en comparación con el grupo control (44%) situados con respecto al
nivel de medición en proceso, con notas por debajo de 13, esta caracte-
rística hizo que el gráfico mostrara de forma objetiva a ambos grupos
una alineación acertada.
66
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
Figura 5
Resultados de la post-prueba sobre comunicación matemática
En la Figura 5 se visualizó que los resultados de la post-prueba sobre la
capacidad de comunicación matemática, el más alto valor de los datos
le correspondió al grupo experimental (62%) situados en el nivel de
logro previsto, en relación al grupo control (42%) señalados con res-
pecto al nivel de medición en proceso, con notas por debajo de 13, este
rasgo hizo que la figura mostró de manera objetiva en los dos grupos
una alineación acertada.
67
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
Figura 6
Resultados de la post-prueba sobre resolución de problemas
En la Figura 6 se visualizó que los resultados de la post-prueba sobre la
capacidad de resolución de problemas, el más alto puntaje de los datos
le correspondió al grupo experimental (40%) situados en el nivel de
logro anticipado, en relación al grupo control (42%) ubicados con res-
pecto al nivel de medición en proceso, con notas por debajo de 13, este
aspecto hizo que el gráfico evidenciara de manera objetiva en ambos
grupos una alineación acertada.
En relación al estudio descriptivo de los datos de la post-prueba,
se pudo afirmar que el nivel de desarrollo de capacidades de razo-
namiento y demostración, comunicación matemática y resolución de
problemas en los estudiantes en el área de matemática con respecto
a la teoría de conjuntos, lógica y números reales, después de la aplica-
ción del método de los Diez Mandamientos mejoró sobremanera, en
comparación con los estudiantes que no recibieron la aplicación del
mismo. En consecuencia, se corroboró el segundo objetivo trazado en
la investigación respectiva.
68
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
Tabla 6
Análisis descriptivo de los Estadígrafos en los grupos
experimental y control Según notas de la pre-prueba y post-prueba
Grupo experimental
Grupo control
Estadígrafos
Pre-prueba
Post-prueba
Pre-prueba
Post-prueba
Media
7
14
8
12
Mediana
7
14
8
12
Moda
7
13
8
12
Desviación estándar
2.5
1,6
2,8
2,4
Coeficiente de asimetría
0.093
0.640
-0,167
0,268
Mínimo
1
12
0
8
Máximo
13
18
15
17
Muestra (n)
55
55
50
50
En la Tabla 6 se visualizaron las medidas estadísticas de los datos ob-
tenidos a través de la puesta en marcha de la prueba de matemática
a la muestra en dos sucesos; pre-prueba al inicio del experimento y
post-prueba al final del mismo. Como se pudo evidenciar en los valores
de los estadígrafos de resumen, dispersión y simetría, se observaron
diferencias elementales entre el grupo experimental y el grupo de con-
trol, lo que evidenció que ambos grupos se encontraron en situaciones
similares al inicio de la investigación, en lo relacionado a las capaci-
dades de razonamiento y demostración, comunicación matemática y
resolución de problemas, por separado.
Las medidas de tendencia central (Media, Mediana y Moda) en el gru-
po experimental marcaron diferencias significativas entre el inicio del
tratamiento y la finalización del mismo; se pudo evidenciar un movi-
miento furtivo de los puntajes obtenidos por los estudiantes, desde la iz-
quierda hacia la derecha, ubicándolos al final en puntajes más elevados.
69
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
Mientras tanto, en el grupo de control este fenómeno no se hizo eviden-
te; es decir, como no hubo tratamiento no se obtuvo respuesta alguna o
podría decirse que no fueron significativas de forma estadística.
Las medidas de dispersión (desviación estándar) indicaron el grado
de cohesión de los datos en tanto que medidas de tendencia principal
ocuparon las principales órdenes. En el grupo experimental se pudo
observar una minimicen preponderante en la desviación estándar, el
mismo que señaló que el desarrollo de capacidades en los participan-
tes en el área de matemática con la aplicación del método de los Diez
Mandamientos produjo resultados satisfactorios a los objetivos plan-
teados. El comportamiento de las mismas medidas para el grupo de
control fue impredecible; lo que indica que cuando no se llevan a cabo
presentan o aplican propuestas específicas.
Este trabajo de investigación demostró que al grupo experimental le
correspondió un coeficiente de asimetría de 0,640 y al grupo control de
0,268, en ambos casos se observó un sesgo positivo, es decir, existe un
relativo predominio de valores menores respeto a la media aritmética.
Luego del análisis comparativo de los estadígrafos de la post-prueba
se pudo establecer la existencia de diferencias en el nivel de mejora del
desarrollo de capacidades en estudiantes de los grupos experimental
y control en el área de matemática, al dar por concluido la aplicación
del método de los Diez Mandamientos. En consecuencia, se corroboró
el tercer objetivo trazado y la hipótesis planteada en la investigación.
X. Prueba de normalidad
Se llevó a cabo la prueba de normalidad para poder establecer el esta-
dístico a utilizar en las pruebas de hipótesis de investigación. Al con-
siderar para esta prueba que se aceptó la hipótesis alterna de norma-
lidad que el p-valor sea menor 0.05 para pruebas no paramétricas y el
p-valor mayor al 0.05 para pruebas paramétricas.
70
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
Tabla 7
Prueba de normalidad
Kolmogorov-Smirnov
Estadístico
gl
Sig.
El desarrollo de capacidades
,845
105
,001
Aplicación del método de los Diez Mandamientos
,825
105
,002
Nota: a. Corrección de significación de Lilliefors.
En la Tabla 7, conforme a esta prueba teniendo en consideración el nú-
mero de la muestra que fue superior a 50, se hizo énfasis en el esta-
dístico de Kolmogorov-Smirnov, al dar éste valores de .845, .825 con
un nivel de significancia menor al 0.05. Por lo tanto, al ser el p-valor
menor al 0.05 en ambas variables se indicó que la distribución de los
datos no es normal, por ende, se aplicaría pruebas no paramétricas.
En vista de que el propósito del trabajo fue conocer la eficacia o un
efecto positivo al aplicar la metodología a los estudiantes entre las va-
riables se empleará el estadístico de U Mann-Whitney.
XI. Prueba de Hipótesis
La muestra dividida de manera aleatoria en grupos experimental (55)
y de control (50) les da la característica de independiente a cada uno
de los grupos de la muestra usada en la investigación. Con las precisio-
nes hechas, se pasa a aplicar la prueba de hipótesis en base al estadís-
tico de la U de Mann-Whitney, para tal efecto se han considerado los
siguientes pasos:
A. Hipótesis general
H0: El desarrollo de capacidades en los estudiantes del primer ciclo
de la Facultad de Ciencias de la Educación de la unheval en el área de
matemática no registró mejoría con la aplicación del método los Diez
Mandamientos, en comparación con los estudiantes que no recibieron
la aplicación del mismo.
71
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
Ha: El desarrollo de capacidades en los participantes del primer ci-
clo de la Facultad de Ciencias de la Educación de la unheval en el área
de matemática mejora con la aplicación del método los Diez Manda-
mientos, en comparación con los estudiantes que no recibieron la apli-
cación del mismo.
Considerando que:
Sig. < 0.05, se rechaza la H0.
Sig. > 0.05, no se rechaza la H0.
Tabla 8
Prueba de Mann-Whitney
Grupo
N.º
Rango promedio
Suma de rangos
Pre-
Grupo control
50
16,64
532,50
prueba
Grupo experimental
55
48,31
1547,50
Total
105
Post-
Grupo control
50
16,56
530,00
prueba
Grupo experimental
55
48,47
1550,00
Total
105
Tabla 9
Estadísticos de prueba
Pre-prueba
Post-prueba
U de Mann-Whitney
4,500
2,000
W de Wilcoxon
532,500
530,000
Z
-6,821
-6,852
Sig. Asintótica (bilateral)
0,000
0,000
Nota: a. Variable de agrupación: grupo
72
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
En la Tabla 8, de acuerdo a la prueba de Mann-Whitney, se pudo ve-
rificar que el valor del grupo experimental en la post-prueba fue mayor
al valor del grupo experimental de la pre-prueba, siendo los siguientes
valores como: 48,31 y 48,47. Del mismo modo, en la Tabla 9 de estadís-
ticos de pruebas se verificó en la columna de la post-prueba valores de
U Man-Whitney de 2,000, valor de W de Wilcoxon de 530,000, el valor
Z -6852 y el nivel de significancia de 0,000 menor al planteado en la
investigación. Por lo tanto, se afirma la hipótesis del investigador como
verdadera.
B. Hipótesis Especifica 1
H1: El nivel de competencia matemática en los grupos experimental y
control, fueron será equivalentes antes de la aplicación del método los
Diez Mandamientos, en estudiantes del primer ciclo de la Facultad de
Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán.
H0: El nivel de competencia matemática en los grupos experimental
y control, no fueron equivalentes antes de la aplicación del método los
Diez Mandamientos, en estudiantes del primer ciclo de la Facultad de
Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán.
Considerando que:
Sig. < 0.05, se rechaza la H0.
Sig. > 0.05, no se rechaza la H0.
Tabla 10
Prueba de Mann-Whitney
Grupo
N.º
Rango promedio
Suma de rangos
Pre-prueba
Grupo control
50
18,84
654,30
Grupo experimental
55
52,45
1752,50
Total
105
Post-prueba
Grupo control
50
18,95
635,00
Grupo experimental
55
53,01
1765,00
Total
105
73
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
Tabla 11
Estadísticos de prueba
Pre-prueba
Post-prueba
U de Mann-Whitney
8,600
6,000
W de Wilcoxon
654,300
635,000
Z
-7,254
-6,625
Sig. Asintótica (bilateral)
0,000
0,000
Nota: a. Variable de agrupación: grupo
En la Tabla 10, de acuerdo a la prueba de Mann-Whitney, se pudo veri-
ficar que el valor del grupo experimental en la post-prueba fue mayor
al valor del grupo experimental de la pre-prueba, siendo los siguientes
valores como: 52,45 y 53,01. Así mismo, en la Tabla 11 de estadísti-
cos de pruebas se verificó en la columna del Post-prueba valores de U
Man-Whitney de 6,000, valor de W de Wilcoxon de 635,000, el valor Z
-6.625 y el nivel de significancia de 0,000 menor al planteado en la in-
vestigación. Por lo tanto, afirmamos la hipótesis del investigador como
verdadera.
C. Hipótesis Específica 2
Ha: Los niveles de desarrollo de razonamiento matemático, mejo-
rarán sobremanera posterior a la aplicación del método los Diez
Mandamientos, en estudiantes del primer ciclo de la Facultad de
Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán
Ho: Los niveles de desarrollo de razonamiento matemático, no me-
jorarán sobremanera posterior a la aplicación del método los Diez
Mandamientos, en estudiantes del primer ciclo de la Facultad de Cien-
cias de la Educación de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán.
Considerando que:
Sig. < 0.05, se rechaza la H0.
Sig. > 0.05, no se rechaza la H0.
74
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
Tabla 12
Prueba de Mann-Whitney
Grupo
N.º
Rango promedio
Suma de rangos
Grupo control
50
17,23
588,56
Pre-prueba
Grupo experimental
55
42,12
1458,50
Total
105
Grupo control
50
17,35
597,21
Post-prueba
Grupo experimental
55
42,26
1462,00
Total
105
Tabla 13
Estadísticos de prueba
Pre-prueba
Post-prueba
U de Mann-Whitney
7,568
5,254
W de Wilcoxon
588,56
597,210
Z
-6,452
-6,103
Sig. Asintótica (bilateral)
0,000
0,000
Nota: a. Variable de agrupación: grupo
En la Tabla 12, de acuerdo a la prueba de Mann-Whitney, se pudo veri-
ficar que el valor del grupo experimental en la post-prueba fue mayor
al valor del grupo experimental de la pre-prueba, siendo los siguientes
valores como: 42,12 y 42,26. Del mismo modo, en la Tabla 13 de esta-
dísticos de pruebas, se verificó en la columna del Post-prueba valores
de U Man-Whitney de 5,254, valor de W de Wilcoxon de 597,210, el va-
lor Z -6.103 y el nivel de significancia de 0,000 menor al planteado en
la investigación. Por lo tanto, afirmamos la hipótesis del investigador
como verdadera.
D. Hipótesis Especifica 3
Ha: Al finalizar el estudio existirá una variación significativa de los re-
sultados posterior a la aplicación del método los Diez Mandamientos,
con respecto al desarrollo de capacidades en el área de matemática en
75
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
los estudiantes de los grupos experimental y control, del primer ciclo
de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional
Hermilio Valdizán.
Ho: Al finalizar el estudio no existirá una variación significativa de
los resultados posterior a la aplicación del método los Diez Manda-
mientos, con respecto al desarrollo de capacidades en el área de mate-
mática en los estudiantes de los grupos experimental y control, del pri-
mer ciclo de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad
Nacional Hermilio Valdizán.
Considerando que:
Sig. < 0.05, se rechaza la H0.
Sig. > 0.05, no se rechaza la H0.
Tabla 14
Prueba de Mann-Whitney
Grupo
N.º
Rango promedio
Suma de rangos
Pre-
Grupo control
50
19,14
756,32
prueba
Grupo experimental
55
59,12
1661,50
Total
105
Post-
Grupo control
50
19,56
654,21
prueba
Grupo experimental
55
59,24
1654,00
Total
105
Tabla 15
Estadísticos de prueba
Pre-prueba
Post-prueba
U de Mann-Whitney
7,568
5,842
W de Wilcoxon
756,320
654,210
Z
-6,796
-6,276
Sig. Asintótica (bilateral)
0,000
0,000
C
Nota: a. Variable de agrupación: grupo
76
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
En la Tabla 14, de acuerdo a la prueba de Mann-Whitney, se pudo ve-
rificar que el valor del grupo experimental en la post-prueba fue mayor
al valor del grupo experimental de la pre-prueba, siendo los siguientes
valores como: 59,12 y 59,24. Así mismo, en la Tabla 15 de estadísticos
de pruebas verificamos en la columna del Post-prueba valores de U
Man-Whitney de 5,842, valor de W de Wilcoxon de 654,210, el valor Z
-6.276 y el nivel de significancia de 0,000 menor al planteado en la in-
vestigación. Por lo tanto, afirmamos la hipótesis del investigador como
verdadera:
E. Discusión de resultados
Los resultados presentados y analizados a través de la estadística des-
criptiva e inferencial en el capítulo iv, mostraron los rasgos caracte-
rísticos que evidencian parámetros altos para el grupo experimental
con respecto al grupo control; esta característica se pudo visualizar en
todas las variables de investigación analizadas, de manera que se de-
mostró y verificó en todos sus extremos los objetivos e hipótesis for-
mulados con antelación.
Estos resultados se evidencian en las tablas 5 y 6 en las que se mues-
tra la superioridad del grupo experimental en relación al grupo de con-
trol, en lo referido al desarrollo de capacidades en los diferentes nive-
les. Para Piaget, citado por Carlos Tünnrmann Bernheim:
El mecanismo básico de adquisición de conocimientos consiste en un proceso
en el que las nuevas informaciones se incorporan a los esquemas o estructuras
preexistentes en la mente de las personas, que se modifican y reorganizan
según un mecanismo de asimilación y acomodación facilitado por la actividad
del alumno59.
En la Tabla 6 se mostró que los resultados de la pre-prueba y post
prueba en lo relacionado a las capacidades, se muestran diferencias
notables. Estos resultados se presentan en el grupo experimental con
características elevadas altas, en la post-prueba, en cuanto se refiere
59
Carlos Tünnrmann Bernheim. “El constructivismo y el aprendizaje de los estudiantes”,
en Universidades, n.º 48, enero-marzo de 2011, pp. 21 a 32, disponible en [https://www.
redalyc.org/pdf/373/37319199005.pdf ], p. 24.
77
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
al desarrollo de las capacidades; razonamiento y demostración, comu-
nicación matemática, y resolución de problemas, situación que se evi-
denció en la propuesta.
En las Tablas 5 y 6 se reportaron resultados de la post-prueba co-
rrespondiente a los aspectos referidos al desarrollo de las capacidades,
se mostró un mejor rendimiento académico en los estudiantes del gru-
po experimental, en relación al grupo de control; lo que certifica que
el proceso enseñanza aprendizaje a través del método los diez manda-
mientos, influyó de forma positiva en el desarrollo de capacidades en
los estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Educación de la unhe-
val en el área de matemática, tanto en el aspecto de razonamiento y
demostración, comunicación matemática y resolución de problemas,
por separado.
F. Contrastación de la Hipótesis
General con base en la Prueba de Hipótesis
Los resultados analizados mediante de la estadística inferencial y lue-
go de haber aplicado la prueba de hipótesis, se obtuvieron indicios que
permitieron asegurar que el desarrollo de capacidades a través del mé-
todo los diez mandamientos en el grupo experimental, es mayor que
aquellos estudiantes del grupo de control, ya que verificó que el valor
de Z = 5 en la curva normal se ubica a la derecha de Zc = 1,96 que es la
zona de rechazo, por lo tanto se descartó la hipótesis nula y se aceptó
la hipótesis alterna; es decir, se tiene datos suficientes que probaron
que el desarrollo de capacidades en los estudiantes del primer ciclo
de la Facultad de Ciencias de la Educación de la unheval en el área de
matemática, mejoró sobremanera con la aplicación del método los diez
mandamientos, en comparación con los estudiantes que no recibieron
la aplicación del mismo.
G. Aporte científico de la investigación
El resultado y producto de esta investigación tiene una relevancia
teórico-científica, puesto que se trata de una contribución significati-
va al desarrollo del área de matemática en el nivel superior. Mediante
la aplicación del método de los Diez Mandamientos, el estudiante en
78
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
su mejora de la capacidad matemática, puede llegar a desarrollar un
conjunto de habilidades, que le estimula la creatividad, el pensamiento
crítico, la competencia para el cálculo, para la toma de decisiones y
estrategias para la resolución de problemas; todas estas actitudes son
necesarias para una mejor comprensión y asimilación de las diferentes
áreas del conocimiento, así como para un mejor desempeño en su vida
futura, tanto profesional como cotidiana.
De allí que los resultados obtenidos en la presente investigación,
permiten aportar información fundamental de base sobre la efectivi-
dad del método los diez mandamientos para el desarrollo de capaci-
dades de razonamiento y demostración, comunicación matemática y
resolución de problemas en los estudiantes universitarios en el área
de matemática, la misma que tiene relevancia teórica, práctica y social,
entre otros aspectos esenciales.
El método interactivo de los Diez Mandamientos para el desarrollo
de capacidades en el área de matemática es cíclico, es decir, la secuen-
cia de pasos se repite de acuerdo al número de unidades didácticas
que contiene el sílabo de la asignatura, del mismo modo, se planifica y
ejecuta de acuerdo al siguiente esquema didáctico:
79
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
Tabla 16
Los Diez Mandamientos
Desarrollo de la sesión
Método
Estrategias
Tiempo
Primer mandamiento
Inicia y motiva la clase al presentar los contenidos
Se procede a formar los equipos de interaprendizaje al utilizar la técnica
5 min
por afinidad, luego se despierta el interés de los estudiantes al presentar
Recuperación
el contenido y las capacidades a desarrollar.
de los saberes
Segundo mandamiento
previos
Explora y problematiza al indagar por diversos medios
Se indaga por diversos medios, aquello que los estudiantes saben sobre
5 min
el tema, poniéndole en situación de responder preguntas abiertas tales
como: ¿qué es una igualdad?; ¿qué es una desigualdad?; ¿qué es una
ecuación?; ¿qué es una inecuación? Luego se contrasta sus respuestas.
Tercer mandamiento
Propicia un nuevo aprendizaje en el estudiante
20 min
El aprendizaje se logra con ejercicios y/o problemas resueltos por el
facilitador y con la ayuda de módulos instructivos (mai).
Cuarto mandamiento
Analiza y sintetiza información en equipos de expertos
Se entrega las fichas de problemas propuestos a cada equipo de trabajo;
10 min
luego se reúnen los equipos de expertos para la ejecución de los trabajos
afines, con la finalidad de analizar, discutir, sugerir y sistematizar
información referente al subtema.
Quinto mandamiento
Analiza y sintetiza información en equipos iniciales
Los alumnos que integraron el equipo de expertos retornan a sus
10 min
equipos iniciales; al utilizar la técnica del grupo coloquial intercambian
experiencias, ideas, opiniones, permitiendo así la asimilación y
acomodación del nuevo conocimiento.
Elaboración
Sexto mandamiento
del nuevo
Sistematiza y presenta los problemas resueltos
saber
10 min
La síntesis final sobre el tema, lo presenta el secretario(a) con la relación
y firma de los integrantes del equipo. Los alumnos en forma individual lo
adjuntan en el dossier de matemática.
Séptimo mandamiento
Expone el desarrollo de problemas
Por sorteo se le asigna un ejercicio o problema a un integrante de cada
equipo, a quien se le denomina acusado o reo. Los integrantes del grupo
10 min
del reo son los abogados que defienden al acusado, los demás grupos
asumen la función de jueces, cuya misión es acusar al reo, quien expone y
demuestra en la pizarra el desarrollo del ejercicio o problema.
Octavo mandamiento
Evalúa el proceso de aprendizaje
Al aplicar la técnica de la audiencia pública el reo demuestra en la pizarra
10 min
el desarrollo del ejercicio o problema asignado, los alumnos que cumplen
la función de jueces interrogan al acusado sobre el tema que se está al
tratar, los abogados apoyan y lo defienden.
80
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
Método
Estrategias
Tiempo
Noveno mandamiento
Entrega a los estudiantes trabajos de profundización
Se entrega a los estudiantes, fichas de aplicaciones y refuerzo, que
5 min
consiste en un conjunto de ejercicios o problemas propuestos sobre
el tema tratado, para ser resueltos en forma individual o en equipo en
Incorporación
sus domicilios. Además, se les encarga trabajos sobre elaboración de
del
materiales educativos.
aprendizaje a
Decimo mandamiento
la vida
Realiza trabajos de reforzamiento y retroalimentación
Se realiza un simulacro previo a la evaluación escrita, para ello el
5 min
profesor entrega una ficha de ejercicios y/o problemas en forma
individual o grupal, con la finalidad de realizar trabajos de reforzamiento
y de retroalimentación respectiva.
Total
90 min
81
Capítulo quinto
El método de los diez mandamientos y los
procesos educativos, visiones y revisiones
Los estudios recientes sobre el aprendizaje, así como de los conoci-
mientos que son adquiridos por diversas vías expresan una necesidad
de consolidar formas y contenidos que le son útiles a los individuos que
de manera directa logran establecer bajo los enfoques ya conocidos, no
solo por los docentes quienes de igual manera aprenden y son también
parte esencial del viaje metodológico, sino que de igual forma, los estu-
diantes se hacen parte medular del procedimiento al aplicar una serie
de requerimientos para alcanzar los objetivos, planes y estrategias re-
queridas. Si bien este principio complejo parece incidir en la dinámica
educativa, los procedimientos parecen indicar que son los mismos que
se han empleado años atrás, al considerar que estos “métodos” han
generado los resultados esperados; y que, por ende, son los métodos
más adecuados para la consolidación de los contenidos programáticos.
Parte de esta realidad ha sido vivida en países cuya formación ha sido
escasa, a ratos padecen de una cultura científica puesto que sus intere-
ses han mirado hacia otras dimensiones mucho más rentables para el
logro de sus objetivos, en su mayoría financieros.
Una idea acerca de esta realidad ha sido esbozada en la misma prác-
tica docente. Un sinfín de investigaciones podría aseverar que la reali-
dad es otra cuando se ve con sorna las deliberadas y mal planificadas
estrategias, así como las técnicas que llevan a cabo en las aulas de cla-
ses. Desde las primeras etapas de la escolarización, el niño no apren-
de a partir de su contexto, en todo caso el desplazamiento hacia otros
contextos es frecuente, y así hasta que su proceso de formación llega a
los niveles más altos. La enseñanza de las ciencias ha sido durante un
largo tiempo una permanente abstracción de lo real, lo que se traduce
83
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
en que el joven no establezca los niveles de pensamiento, ni mucho
menos de la producción y luego la sistematización de lo aprendido. La
realidad de la educación es que esta no se ha enfocado en transfor-
mar al sujeto, antes bien, la reproducción de los mismos esquemas de
pensamiento ha sido constante y reiterado, no habiendo un proceso de
cambio que los libere y los transforme como individuos.
La aplicación de un método como el abordado puede incidir en el
comportamiento académico, siendo este una técnica, aunque no úni-
ca, en desarrollar la capacidad crítica de los sujetos y del docente que
participa con firmeza en la dinámica educativa. Este método no solo
propicia el encuentro entre participante y docente, también ofrece
explorar e indagar sobre los conocimientos previos que trae consigo
el estudiante. Además, que este método intenta elevar la calidad edu-
cativa de aquellos que estén involucrados en las sesiones de trabajo,
no obstante, este método favorece la producción de conocimientos en
torno a situaciones específicas, sin que exista mediación por parte del
docente, puesto que los estudiantes estarían así mismos generando los
mismos procesos de formación que se requieren. De esta manera, evi-
dencia que los procesos de aprendizaje estarán direccionados a partir
de los modos y las formas con que el participante asume su proceso de
formación. Para Gordillo Mera et al., “los aprendizajes se realizan a
través de la experiencia de los estudiantes”60.
Dado que la enseñanza de la matemática tiende a desarrollar ac-
titudes críticas en el estudiante, esta no solo se manifiesta, sino que
persigue consolidar los niveles resolutivos de aspectos vinculados a
los procesos donde la matemática tiene un papel importante y revela-
dor. En este sentido, el estudio de las matemáticas, según Nelly Aidee
Villegas Guerrero se centra en lo siguiente:
La matemática tiene: un valor formativo (formación matemática), basado
en su método de razonamiento, un valor instrumental por su utilidad para
resolución de problemas y un valor social, como medio de comunicación. Para
el logro de estos propósitos se hace necesario reorientar la labor docente. Así,
por ejemplo, al trabajar la capacidad de resolución de problemas de cantidad
no es conveniente presentarlo como aplicación de contenidos aprendidos
60
Ibíd., p. 76.
84
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
a través de ejercicios para aplicar los algoritmos donde lo importante es la
respuesta, sino por el contrario se trata de promover la actividad creadora y la
búsqueda de estrategias para la resolución del problema61.
Aun cuando este parece ser el panorama en torno a la realidad de la
enseñanza de las ciencias matemáticas, su aplicación en diversos es-
cenarios de acción, aun no presenta variaciones, en tanto al abordaje,
así como a la producción de conocimientos que puedan generar en los
participantes la búsqueda de soluciones. Sobre este planteamiento,
se puede decir que la aplicación de ciertos métodos no termina por
definir sus principales intereses, aun cuando los métodos, técnicas o
estrategias estén en consonancia con los cambios que el sistema pu-
diera generar. No así las actitudes de los docentes de áreas de forma
estrecha vinculadas con las ciencias y la tecnología. La enseñanza de la
matemática admite la atención y las demandas de una sociedad cada
vez más compleja, en este sentido María Alejandra Chacón Fonseca
señala que:
Educación matemática implica atender demandas sociales, de ahí la
importancia de asumir un rol de educador consiente de la responsabilidad
social que el ejercicio de la profesión posee, en términos de impacto de las
acciones que se desarrollan en el salón de clase, la motivación no solo hacia la
materia, pues se educa para la vida62.
La enseñanza de las ciencias en sociedades muy competitivas puede
ofrecer una serie de avances que fueron los llamados de alerta y de
atención de organismos internacionales debido al exiguo compromi-
so por parte de los estados al comprometerse de manera acertada en
61
Nelly Aidee Villegas Guerrero. “Aplicación de un programa de matemática recreativa
para mejorar la resolución de problemas en los niños de segundo grado de educación
primaria de la I.E.P. N.º 10175 ‘Consagrada Inmaculada Virgen María’ el desvío del Distri-
to de Olmos - Lambayeque 2017”, tesis de especialidad, Lambayeque, Perú Universidad
Nacional “Pedro Ruiz Gallo”, 2017, disponible en [http://repositorio.unprg.edu.pe/bits-
tream/handle/UNPRG/3818/BC-TES-TMP-2660.pdf?sequence=1&isAllowed=y ], p. 17.
62
María Alejandra Chacón Fonseca. “Estrategias metodológicas y manejo de clase que
facilitan la implementación de la metodología de resolución de problemas mediante el
trabajo en equipo”, en Manuel Morillo (ed.), Memorias 11.º Festival Internacional de
Matemática, San José de Costa Rica, Fundación cientec, 2018, pp. 65 a 72, disponible en
[http://funes.uniandes.edu.co/17168/1/Chacon2018Estrategias.pdf ], p. 65.
85
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
los procesos educativos de vanguardia. Entre las demandas sugeridas
estaba la capacidad de transformar los modelos tradicionales de ense-
ñanza, así mismo, la consolidación de una sociedad muy comprometi-
da con el mundo, de igual manera la posibilidad de impulsar la socie-
dad del conocimiento con el fin de contrarrestar los posibles desastres
y consecuencias nefastas como respuesta al mal uso de las ciencias y
las tecnologías; así como también, medir los impactos de las nuevas
tecnologías en los procesos de enseñanza y de aprendizaje, que en la
actualidad han creado desasosiego y un deterioro progresivo que aten-
ta contra la estabilidad económica y social de las naciones.
Si bien entre las demandas descritas existe una que llama la aten-
ción por tratarse solo de la posibilidad de transformar los modelos, y
se agrega también los métodos, estos aún persisten en las prácticas que
el docente pretende llevar a cabo. Sin alertar siquiera sobre el negativo
impacto que estas formas pueden ocasionar en contextos académicos,
de igual manera lo contemplan los adelantos en materia tecnológica.
El empleo de las nuevas tecnologías dentro de un contexto educativo
particular puede contribuir de manera eficaz en los procesos que allí
se logran consolidar, sin embargo, lo que va a marcar la diferencia es la
forma y el cómo se abordan los contenidos en áreas específicas. La en-
señanza de las ciencias, a través del método de los Diez Mandamientos,
busca no solo indagar sobre los diversos saberes que trae consigo el
participante, sino hallar el sentido sobre los contenidos. No obstante,
ese mismo sentido versará e incidirá sobre el rendimiento académico
de aquellos que inician el viaje del aprendizaje. Al respecto, Marti, ci-
tado por Héctor Lamas, señala:
En el rendimiento académico intervienen factores como el nivel intelectual, la
personalidad, la motivación, las aptitudes, los intereses, los hábitos de estudio,
la autoestima o la relación profesor-alumno; cuando se produce un desfase
entre el rendimiento académico y el rendimiento que se espera del alumno, se
habla de rendimiento discrepante; un rendimiento académico insatisfactorio
es aquel que se sitúa por debajo del rendimiento esperado. En ocasiones
puede estar relacionado con los métodos didácticos63.
63
Héctor Lamas. “Sobre el rendimiento escolar”, Propósitos y Representaciones, vol. 3, n.º
1, Lima, 2015, pp. 313 a 386, disponible en [http://revistas.usil.edu.pe/index.php/pyr/
article/view/74/152 ], p. 316.
86
Andres Avelino Camara Acero, Pío Trujillo Atapoma y Edwin Roger Esteban Rivera
De esta manera, se pone de manifiesto que varios aspectos inter-
vendrán de manera directa en la consolidación de los aprendizajes,
esto si se garantiza la aplicación de enfoques cónsonos con la realidad
de los que participan en el proceso de aprendizaje, un tanto porque
los sujetos se sienten más comprometidos debido a un proceso que
se acompaña desde el inicio hasta que se da por finalizado el proceso
de aprendizaje, esto sin obviar que los contenidos deben responder a
ciertas necesidades, puesto que para garantizar que el conocimiento se
logre fijar, este debe ser significativo, además de comprensible, dado
que el estudiante participa en la misma dinámica si y solo si se siente
motivado para llevar a cabo el aprendizaje. Para Lamas, “el estudiante
tiene interés por la materia y desea lograr que el aprendizaje tenga
significación personal”64, siempre y cuando se sienta motivado para el
logro de los objetivos, metas u otros aspectos vinculados a su forma-
ción no solo escolar, sino académica.
64
Ibíd., p. 321.
87
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97
Los autores
Andres Avelino Camara Acero
camaraandres21@gmail.com
Licenciado en Ciencias de la Educación, especialidad Matemática
y Física; Magíster en Gestión y Planeamiento Educativo. Doctor
en Ciencias de la Educación, Diplomados nacionales e interna-
cionales en investigación cuantitativa y cualitativa. Docente prin-
cipal en pregrado de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán
(unheval), docente de posgrado en diversas universidades. Se
desempeñó como especialista en evaluación en los programas de
segunda especialidad, en convenio con el Ministerio de Educación
del Perú. Decano de la Facultad de Ciencias de la Educación (un-
heval).
Pío Trujillo Atapoma
ptrujilloatapoma@gmail.com
Realizó estudios superiores en la Universidad Nacional Hermilio
Valdizán, graduado como Licenciado en Educación, especiali-
dad Matemática y Física. Magíster en Educación con mención
en Investigación y Docencia Superior. Doctor en Ciencias de la
Educación; ambas en la unheval. Docente principal de la Facultad
de Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional Hermilio
Valdizán.
99
Los diez mandamientos: método y desarrollo de capacidades en las matemáticas
Edwin Roger Esteban Rivera
edwinrogerestebanrievra@gmail.com
Licenciado en Pedagogía y Humanidades, especialidad Ciencias
Sociales e Historia (uncp). Mg. en Curriculum Educacional por la
Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación, de Chile.
Doctor en Ciencias de la Educación por la Universidad Nacional
Hermilio Valdizán; Diplomados internacionales en investigación
cualitativa. Docente principal en pregrado de la unheval, docente
de posgrado en diversas universidades. Se desempeñó como espe-
cialista en investigación con enfoque cualitativo en el Ministerio
de Educación del Perú. Director de la Unidad de Posgrado de la
Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional
Hermilio Valdizán (unheval).
100
Editado por el Instituto Latinoamericano de Altos Estudios -ilae-,
en noviembre de 2020
Se compuso en caracteres Cambria de 12 y 9 ptos.
Bogotá, Colombia